Indique se as seguintes asserções estão CERTAS ou ERRADAS.
Se \left\{v_{1}, v_{2}\right\} for um conjunto ortogonal e se c_{1} e c_{2} forem escalares, então \left\{c_{1} v_{1}, c_{2} v_{2}\right\} será um conjunto ortogonal.

Passo 1

O enunciado fala sobre um conjunto ortogonal \{v_{1},v_{2}\} num espaço com produto interno e pede para checar se ao multiplicar cada vetor por escalares c_{1} e c_{2} o conjunto \{c_{1}v_{1},c_{2}v_{2}\} continua ortogonal. O conteúdo é a propriedade de invariância da ortogonalidade sob escalares.

Passo 2

Uma definição básica: um conjunto \{u_{1},u_{2}\} é ortogonal se e somente se
\langle u_{1},u_{2}\rangle = 0.

Passo 3

Aplicando ao par \{c_{1}v_{1},c_{2}v_{2}\}, temos
\langle c_{1}v_{1},\,c_{2}v_{2}\rangle = c_{1}\,c_{2}\,\langle v_{1},v_{2}\rangle = c_{1}\,c_{2}\cdot 0 = 0.
Portanto \{c_{1}v_{1},c_{2}v_{2}\} é um conjunto ortogonal.

Resposta

CERTA

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