Indique se as seguintes asserções estão CERTAS ou ERRADAS.
Seja S um subespaço de M(n, n). Se a dimensão do subespaço S^{\perp} é igual a \frac{n(n+1)}{2}, então a dimensão de S é igual a \frac{n(n-1)}{2}.

Passo 1

O enunciado diz que S é um subespaço do espaço de todas as matrizes n\times n (denotado M(n,n)) equipado com o produto interno de Frobenius \langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(A^T B). Ele afirma que \dim S^{\perp}=\tfrac{n(n+1)}{2} e sugere que então \dim S=\tfrac{n(n-1)}{2}. O conteúdo aqui é a relação entre dimensões de um subespaço e de seu complemento ortogonal num espaço interno de dimensão finita.

Passo 2

Num espaço interno de dimensão finita vale a fórmula
\dim S + \dim S^{\perp} = \dim M(n,n).
Como M(n,n) tem dimensão n^2, temos
\dim S = n^2 - \dim S^{\perp}.

Passo 3

Substituindo \dim S^{\perp}=\tfrac{n(n+1)}{2} em \dim S = n^2 - \dim S^{\perp}, obtemos
\dim S = n^2 - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2n^2 - n^2 - n}{2} = \frac{n^2 - n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.

Passo 4

Portanto, de fato a dimensão de S é \tfrac{n(n-1)}{2}, exatamente como afirmado.

Resposta

CERTA

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