Indique se as seguintes asserções estão CERTAS ou ERRADAS.
Sejam W_{1}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) ; a=d\right. e \left.b=c\right\} e W_{2}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) ; a=c\right. e \left.b=d\right\} subespaços de M(2,2). O subespaço W_{1} \cap W_{2} tem dimensão menor do que 2 .

Passo 1

O espaço ambiente é M(2,2), o espaço de todas as matrizes 2\times2. Temos dois subespaços: W_{1}=\bigl\{\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix};\,a=d\text{ e }b=c\bigr\} e W_{2}=\bigl\{\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix};\,a=c\text{ e }b=d\bigr\}.
A pergunta é sobre a dimensão de W_{1}\cap W_{2} e se ela é menor do que 2.

Passo 2

Parametrizamos cada subespaço:
Um elemento de W_{1} satisfaz a=d e b=c, logo
M\in W_{1}\implies M=\begin{pmatrix}a&b\b&a\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Portanto \dim W_{1}=2.
Um elemento de W_{2} satisfaz a=c e b=d, logo
N\in W_{2}\implies N=\begin{pmatrix}a&b\a&b\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Logo \dim W_{2}=2.

Passo 3

Para X\in W_{1}\cap W_{2} temos simultaneamente \begin{pmatrix}a&b\b&a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c&d\c&d\end{pmatrix}.
Isso dá as igualdades a=c, b=d, b=c e a=d.
Das duas primeiras vem a=c e b=d. Das duas últimas vem b=a e c=d, que junto com a=c implicam b=a.
Logo todo X\in W_{1}\cap W_{2} é da forma
X=a\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix},
com um único grau de liberdade a. Portanto \dim\bigl(W_{1}\cap W_{2}\bigr)=1<2.

Resposta

A asserção está CERTA.

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