Indique usando completamento de quadrados, qual é o centro e o raio das circunferências a seguir.
Dica: a equação de uma circunferência de centro (a, b) e raio r é (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.
x^{2}+2 x+y^{2}-2 y-2=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da circunferência
x^{2}+2x+y^{2}-2y-2=0
e pede para indicar, usando completamento de quadrados, qual é o centro e qual é o raio.
O que precisamos achar são os números a, b e r tais que a equação fique na forma
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.

Passo 2

Explicando o método do completamento de quadrados (passo-a-passo e didático): para qualquer expressão quadrática em x do tipo
x^{2}+bx,
pode-se escrever
x^{2}+bx=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
Aqui \dfrac{b}{2} é metade do coeficiente de x. Isso transforma a parte quadrática num quadrado perfeito \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} mais um termo constante que precisa ser subtraído para manter a igualdade. O mesmo vale para y.
Exemplo rápido para fixar: se tiver x^{2}+6x, então \dfrac{b}{2}=3 e
x^{2}+6x=(x+3)^{2}-3^{2}=(x+3)^{2}-9.

Passo 3

Aplicando o completamento de quadrados à parte em x da nossa equação: temos x^{2}+2x. Aqui b=2 então \dfrac{b}{2}=1. Portanto
x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1.

Passo 4

Agora aplicando ao termo em y: temos y^{2}-2y. Aqui b=-2 então \dfrac{b}{2}=-1. Assim
y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1.

Passo 5

Substituindo as identidades obtidas na equação original:
x^{2}+2x+y^{2}-2y-2=0
torna-se
\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)+\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)-2=0.
Agrupando as constantes:
(x+1)^{2}+(y-1)^{2}-1-1-2=0,
(x+1)^{2}+(y-1)^{2}-4=0.
Isolando os quadrados:
(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=4.
Esta é a forma padrão (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}, onde podemos identificar a=-1, b=1 e r^{2}=4. Logo r=2 (raio positivo).

Passo 6

Resumo e checagem rápida (para ganhar confiança): a forma final é
(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=4.
Expandindo de volta (x+1)^{2}+(y-1)^{2}=x^{2}+2x+1+y^{2}-2y+1 e subtraindo 4 x^{2}+2x+y^{2}-2y-2=0, que é a equação inicial. Está consistente.

Resposta

Centro \,(-1,\,1)\, e raio \,2\,.

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