Indique usando completamento de quadrados, qual é o centro e o raio das circunferências a seguir.
Dica: a equação de uma circunferência de centro
e raio
é
.
Passo 1
O enunciado dá a equação da circunferência
e pede para indicar, usando completamento de quadrados, qual é o centro e qual é o raio.
O que precisamos achar são os números ,
e
tais que a equação fique na forma
O que precisamos achar são os números
Passo 2
Explicando o método do completamento de quadrados (passo-a-passo e didático): para qualquer expressão quadrática em
do tipo
pode-se escrever
Aqui
é metade do coeficiente de
. Isso transforma a parte quadrática num quadrado perfeito
mais um termo constante que precisa ser subtraído para manter a igualdade. O mesmo vale para
.
Exemplo rápido para fixar: se tiver
, então
e
Passo 3
Aplicando o completamento de quadrados à parte em
da nossa equação: temos
. Aqui
então
. Portanto
Passo 4
Agora aplicando ao termo em
: temos
. Aqui
então
. Assim
Passo 5
Substituindo as identidades obtidas na equação original:
torna-se
Agrupando as constantes:
Isolando os quadrados:
Esta é a forma padrão
, onde podemos identificar
,
e
. Logo
(raio positivo).
Passo 6
Resumo e checagem rápida (para ganhar confiança): a forma final é
Expandindo de volta
e subtraindo
dá
, que é a equação inicial. Está consistente.
Resposta
Centro
e raio
.