(3,0) Indique verdadeiro (V) ou falso (F) em cada item, justificando sua resposta.
Se K \equiv 1(\bmod 4) então 6 k+5 \equiv 1(\bmod 4).

Passo 1

O enunciado dá a congruência \,k\equiv 1 \pmod{4}\, e pergunta se disso segue que \,6k+5\equiv 1 \pmod{4}.
Informações relevantes:
  • Está assumido que k é um inteiro.
  • Quer-se verificar a propriedade de congruência módulo 4 do número 6k+5 a partir da congruência de k.

Passo 2

Lembrete (definição e propriedade útil). Dizemos que dois inteiros a e b são congruentes módulo n, escrito \,a\equiv b\pmod{n}\,, quando n divide a-b. Uma propriedade muito usada é: se \,a\equiv b\pmod{n}\, então, para qualquer inteiro c, vale \,ca\equiv cb\pmod{n}\,; e também podemos somar congruências termo a termo. Vou usar isso passo a passo.

Passo 3

A partir de \,k\equiv 1\pmod{4}\, podemos escrever k na forma inteira
k=4m+1
para algum inteiro m. Aqui m é um inteiro qualquer que representa o quociente da divisão de k-1 por 4.

Passo 4

Substituo k=4m+1 em 6k+5:
6k+5 = 6(4m+1)+5.
Faço a multiplicação e a soma passo a passo:
6(4m+1)+5 = 24m+6+5 = 24m+11.

Passo 5

Agora expresso 24m+11 de forma a ver o resto ao dividir por 4. Como 24m é múltiplo de 4 (pois 24m=4(6m)), escrevo
24m+11 = 4(6m)+11 = 4(6m+2)+3,
porque 11=4\cdot 2+3. Assim 24m+11 difere de 3 por um múltiplo de 4. Em termos de congruência:
6k+5 \equiv 3 \pmod{4}.

Passo 6

Portanto a conclusão é que, partindo de \,k\equiv 1\pmod{4}\,, obtém-se \,6k+5\equiv 3\pmod{4}\,, não \,1\pmod{4}. Logo a afirmação do enunciado é falsa.

Passo 7

Contraexemplo numérico (para fixar a ideia): escolha k=1 (que satisfaz \,k\equiv 1\pmod{4}\,). Então
6k+5 = 6\cdot 1+5 = 11,
e 11\equiv 3\pmod{4}, não 1. Outro jeito rápido: reduzir coeficientes módulo 4: 6\equiv 2\pmod{4} e 5\equiv 1\pmod{4}, então 6k+5\equiv 2k+1\pmod{4}; com k\equiv 1 2\cdot 1+1=3\pmod{4}.

Resposta

F

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