(3,0) Indique verdadeiro (V) ou falso (F) em cada item, justificando sua resposta.
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a congruência
e pergunta se disso segue que
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Está assumido que
é um inteiro. - Quer-se verificar a propriedade de congruência módulo
do número a partir da congruência de .
Passo 2
Lembrete (definição e propriedade útil). Dizemos que dois inteiros
e
são congruentes módulo
, escrito
, quando
divide
. Uma propriedade muito usada é: se
então, para qualquer inteiro
, vale
; e também podemos somar congruências termo a termo. Vou usar isso passo a passo.
Passo 3
A partir de
podemos escrever
na forma inteira
para algum inteiro
. Aqui
é um inteiro qualquer que representa o quociente da divisão de
por
.
Passo 4
Substituo
em
:
Faço a multiplicação e a soma passo a passo:
Passo 5
Agora expresso
de forma a ver o resto ao dividir por
. Como
é múltiplo de
(pois
), escrevo
porque
. Assim
difere de
por um múltiplo de
. Em termos de congruência:
Passo 6
Portanto a conclusão é que, partindo de
, obtém-se
, não
. Logo a afirmação do enunciado é falsa.
Passo 7
Contraexemplo numérico (para fixar a ideia): escolha
(que satisfaz
). Então
e
, não
. Outro jeito rápido: reduzir coeficientes módulo
:
e
, então
; com
dá
.
Resposta
F