(3,0) Indique verdadeiro (V) ou falso (F) em cada item, justificando sua resposta.
Se K \equiv 1(\bmod 4) então 6 k+5 \equiv(\bmod 4).

Passo 1

O enunciado nos dá a informação
k \equiv 1 \pmod{4}.
A pergunta implícita é determinar a classe de congruência de 6k+5 módulo 4 e então dizer se a afirmação
6k+5 \equiv 3 \pmod{4}
é verdadeira ou falsa. Vou listar o que temos:
  • Dado: k \equiv 1 \pmod{4}.
  • Pedido: encontrar 6k+5 \pmod{4} e indicar se a igualdade 6k+5 \equiv 3 \pmod{4} é verdadeira.

Passo 2

Lembra do que significa a \equiv b \pmod{n}: isso quer dizer que n divide a-b, ou seja, a-b é múltiplo de n. Duas propriedades úteis e fáceis de usar:
  • Se a \equiv b \pmod{n} então, para qualquer inteiro c, tem-se ca \equiv cb \pmod{n} (multiplicação preserva congruência).
  • Se a \equiv b \pmod{n} e u \equiv v \pmod{n} então a+u \equiv b+v \pmod{n} (soma preserva congruência).
    Essas propriedades permitem transformar e reduzir expressões módulo n passo a passo.

Passo 3

Aplicando a propriedade de multiplicação à hipótese k \equiv 1 \pmod{4}: multiplicando ambos os lados por 6 obtém-se
6k \equiv 6\pmod{4}.

Passo 4

Reduzimos 6 módulo 4. Como 6-2=4 é múltiplo de 4, temos
6 \equiv 2\pmod{4}.
Portanto, juntando com o passo anterior,
6k \equiv 2\pmod{4}.

Passo 5

Agora somamos 5 aos dois lados da congruência (a adição preserva congruência):
6k+5 \equiv 2+5 \pmod{4}.
Logo
6k+5 \equiv 7 \pmod{4}.

Passo 6

Reduzimos 7 módulo 4. Como 7-3=4 é múltiplo de 4, segue que
7 \equiv 3\pmod{4}.
Assim chegamos à conclusão
6k+5 \equiv 3\pmod{4}.

Passo 7

Uma verificação alternativa (mesma ideia, por outro caminho): escrever k=4m+1 para algum inteiro m (isso é equivalente a k\equiv1\pmod{4}). Então
6k+5 = 6(4m+1)+5 = 24m+6+5 = 24m+11 = 4(6m+2)+3,
o que mostra explicitamente que 6k+5 deixa resto 3 na divisão por 4, isto é, 6k+5 \equiv 3\pmod{4}.

Passo 8

Exemplos numéricos rápidos para intuir: se k=1 então 6k+5=11 e 11\equiv3\pmod{4}; se k=5 então 6k+5=35 e 35\equiv3\pmod{4}. Sempre sai resto 3.

Resposta

V

Exercícios relacionados