(3,0) Indique verdadeiro (V) ou falso (F) em cada item, justificando sua resposta.
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado nos dá a informação
.
A pergunta implícita é determinar a classe de congruência de módulo
e então dizer se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Vou listar o que temos:
A pergunta implícita é determinar a classe de congruência de
é verdadeira ou falsa. Vou listar o que temos:
- Dado:
. - Pedido: encontrar
e indicar se a igualdade é verdadeira.
Passo 2
Lembra do que significa
: isso quer dizer que
divide
, ou seja,
é múltiplo de
. Duas propriedades úteis e fáceis de usar:
- Se
então, para qualquer inteiro , tem-se (multiplicação preserva congruência). - Se
e então (soma preserva congruência).
Essas propriedades permitem transformar e reduzir expressões módulopasso a passo.
Passo 3
Aplicando a propriedade de multiplicação à hipótese
: multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Passo 4
Reduzimos
módulo
. Como
é múltiplo de
, temos
Portanto, juntando com o passo anterior,
Passo 5
Agora somamos
aos dois lados da congruência (a adição preserva congruência):
Logo
Passo 6
Reduzimos
módulo
. Como
é múltiplo de
, segue que
Assim chegamos à conclusão
Passo 7
Uma verificação alternativa (mesma ideia, por outro caminho): escrever
para algum inteiro
(isso é equivalente a
). Então
o que mostra explicitamente que
deixa resto
na divisão por
, isto é,
.
Passo 8
Exemplos numéricos rápidos para intuir: se
então
e
; se
então
e
. Sempre sai resto
.
Resposta
V