A indução magnética incidindo numa chapa de cobre vale
com a frequência de 60 Hz . Se a chapa tem uma espessura de 12 mm , calcule a indução no outro lado da mesma. Calcule também a defasagem em relação ao campo incidente.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Dados fornecidos:
(indução magnética incidente),
(frequência da onda),
(espessura da chapa de cobre).
Pedidos:
Pedidos:
- Calcular a indução magnética do outro lado da chapa (ou seja, a amplitude de
após atravessar a espessura ). - Calcular a defasagem entre o campo no outro lado e o campo incidente.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar: em um condutor bom (como o cobre) uma onda eletromagnética que penetra sofre atenuação exponencial com a profundidade e também acumula uma defasagem de fase. A característica que determina isso é a profundidade de penetração, chamada de skin depth, definida por
Explicando cada símbolo nessa fórmula:
é a pulsação angular da onda, ou seja
(em rad/s);
é a permeabilidade magnética do meio (para cobre não magnético usamos
, onde
);
é a condutividade elétrica do material (para o cobre usaremos
).
Interpretação: a amplitude do campo magnético decai segundo com a profundidade
. Se a chapa tem espessura
, a amplitude no outro lado será
Interpretação: a amplitude do campo magnético decai segundo
A defasagem de fase acumulada ao atravessar a espessura
(em radianos) é
pois, no condutor, o número de onda complexo leva a um fator
e isso corresponde a perda de amplitude
e avanço de fase equivalente a
(logo o módulo da defasagem é
). Para ficar prático, vamos calcular
, depois
e
.
Passo 3
Calcular a pulsação angular
:
Vamos avaliar numericamente:
Passo 4
Assumimos os parâmetros do cobre:
e
.
Calculemos o produto (vou mostrar os passos numéricos):
Calculemos o produto
Passo 5
Calcular a profundidade de penetração
usando a fórmula
Substituindo os números:
Convertendo para milímetros:
Passo 6
Calcular a razão
, que aparece tanto na atenuação quanto na defasagem:
Passo 7
Calcular a amplitude do campo no outro lado:
Avaliação numérica:
portanto
Passo 8
Calcular a defasagem de fase
. Em radianos:
Se quisermos em graus:
Passo 9
Interpretação e verificação rápida: a skin depth em cobre a 60 Hz é da ordem de alguns milímetros (aqui
), então uma lâmina de 12 mm é mais espessa que
e atenua o campo consideravelmente (ficou cerca de
da amplitude original) e acumula defasagem significativa (
). Os arredondamentos foram feitos mantendo três dígitos significativos.