A indução magnética incidindo numa chapa de cobre vale 1 T com a frequência de 60 Hz . Se a chapa tem uma espessura de 12 mm , calcule a indução no outro lado da mesma. Calcule também a defasagem em relação ao campo incidente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Dados fornecidos:
\;B_{\text{inc}}=1\\ \mathrm{T} (indução magnética incidente),
\;f=60\\ \mathrm{Hz} (frequência da onda),
\;d=12\\ \mathrm{mm}=0{,}012\\ \mathrm{m} (espessura da chapa de cobre).
Pedidos:
  1. Calcular a indução magnética do outro lado da chapa (ou seja, a amplitude de B após atravessar a espessura d).
  2. Calcular a defasagem entre o campo no outro lado e o campo incidente.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar: em um condutor bom (como o cobre) uma onda eletromagnética que penetra sofre atenuação exponencial com a profundidade e também acumula uma defasagem de fase. A característica que determina isso é a profundidade de penetração, chamada de skin depth, definida por
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}.
Explicando cada símbolo nessa fórmula:
\omega é a pulsação angular da onda, ou seja \omega=2\pi f (em rad/s);
\mu é a permeabilidade magnética do meio (para cobre não magnético usamos \mu\approx\mu_0, onde \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m});
\sigma é a condutividade elétrica do material (para o cobre usaremos \sigma\approx5{,}8\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}).
Interpretação: a amplitude do campo magnético decai segundo \exp(-z/\delta) com a profundidade z. Se a chapa tem espessura d, a amplitude no outro lado será
B_{\text{out}}=B_{\text{inc}}\,e^{-d/\delta}.
A defasagem de fase acumulada ao atravessar a espessura d (em radianos) é
\varphi=\frac{d}{\delta},
pois, no condutor, o número de onda complexo leva a um fator \exp\big(-\tfrac{1+i}{\delta}z\big) e isso corresponde a perda de amplitude e^{-z/\delta} e avanço de fase equivalente a -z/\delta (logo o módulo da defasagem é d/\delta). Para ficar prático, vamos calcular \delta, depois B_{\text{out}} e \varphi.

Passo 3

Calcular a pulsação angular \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 60.
Vamos avaliar numericamente:
\omega=120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 376{,}991\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Assumimos os parâmetros do cobre:
\sigma=5{,}8\times10^{7}\\ \mathrm{S/m} e \mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Calculemos o produto \omega\mu\sigma (vou mostrar os passos numéricos):
\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx 1{,}25663706\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m},
\mu_0\sigma\approx 1{,}25663706\times10^{-6}\times 5{,}8\times10^{7}\approx 72{,}88495,
\omega\mu_0\sigma\approx 376{,}991\times 72{,}88495\approx 2{,}7477\times10^{4}.

Passo 5

Calcular a profundidade de penetração \delta usando a fórmula
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}.
Substituindo os números:
\delta=\sqrt{\frac{2}{2{,}7477\times10^{4}}}\approx\sqrt{7{,}282\times10^{-5}}\approx 8{,}54\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
\delta\approx 8{,}54\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Calcular a razão d/\delta, que aparece tanto na atenuação quanto na defasagem:
\frac{d}{\delta}=\frac{12\\ \mathrm{mm}}{8{,}54\\ \mathrm{mm}}\approx 1{,}405.

Passo 7

Calcular a amplitude do campo no outro lado:
B_{\text{out}}=B_{\text{inc}}\,e^{-d/\delta}=1\\ \mathrm{T}\times e^{-1{,}405}.
Avaliação numérica:
e^{-1{,}405}\approx 0{,}245,
portanto
B_{\text{out}}\approx 0{,}245\\ \mathrm{T}.

Passo 8

Calcular a defasagem de fase \varphi. Em radianos:
\varphi=\frac{d}{\delta}\approx 1{,}405\\ \text{rad}.
Se quisermos em graus:
\varphi_{\text{(deg)}}=\varphi\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 1{,}405\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 80{,}5^\circ.

Passo 9

Interpretação e verificação rápida: a skin depth em cobre a 60 Hz é da ordem de alguns milímetros (aqui \approx 8{,}5\\ \mathrm{mm}), então uma lâmina de 12 mm é mais espessa que \delta e atenua o campo consideravelmente (ficou cerca de 24{,}5\% da amplitude original) e acumula defasagem significativa ( \sim80^\circ). Os arredondamentos foram feitos mantendo três dígitos significativos.

Resposta

\;B_{\text{out}}\approx 0{,}245\\ \mathrm{T}
\;\varphi\approx 1{,}405\\ \mathrm{rad}\approx 80{,}5^\circ

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