Deseja-se projetar um aquecedor elétrico que seja capaz de elevar a temperatura de 100 kg de água de 20^{\circ} \mathrm{C} a 56^{\circ} \mathrm{C}, em duas horas. Supondo que todo o calor desenvolvido no aquecedor seja usado para elevar a temperatura da água, pergunta-se?
a) que potência deve ter esse aquecedor?
b) se o aquecedor for projetado para ser ligado em 220 V , que valor de resistência deverá escolhido?
Dados: calor específico “c” da água é igual a 1,00\left[\mathrm{Cal} / \mathrm{g} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right]; considerar: 1[\mathrm{Cal}]=4,184 [J]

Resolução:

a) - Potência do aquecedor
\mathrm{Q}= m.c. \left(\Theta_{\mathrm{f}}-\Theta_{\mathrm{i}}\right)=100.000 \times 1 \times(56-20)=3.600 .000[\mathrm{cal}]
Passando para Joule, vem: 3.600 .000 \times 4,184=15.062 .400[\mathrm{~J}]
Trabalho é energia. Em Joule é igual à " P x ", com o " t " em segundos.
15.062 .400=\mathrm{P} \times 2 \times 3.600, ou \mathrm{P}=2.092[\mathrm{~W}].
b) Resistência do aquecedor
R=\frac{V^{2}}{P}=\frac{220^{2}}{2.092}=23,14[\Omega]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) qual a potência necessária para aquecer 100\\ \mathrm{kg} de água de 20^\circ\mathrm{C} até 56^\circ\mathrm{C} em 2 horas, supondo que todo o calor produzido vai para a água;
b) se o aquecedor vai ser ligado em 220\\ \mathrm{V}, qual resistência elétrica deve ser escolhida.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • massa da água: m=100\\ \mathrm{kg}.
  • temperatura inicial: \Theta_{\mathrm{i}}=20^\circ\mathrm{C}.
  • temperatura final: \Theta_{\mathrm{f}}=56^\circ\mathrm{C}.
  • tempo disponível: t=2\\ \mathrm{h}.
  • calor específico da água: c=1{,}00\\ [\mathrm{Cal}/\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C}].
  • conversão: 1\\ [\mathrm{Cal}]=4{,}184\\ [\mathrm{J}].
  • tensão de alimentação: V=220\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Entendendo a física básica (aula rápida e prática). A energia térmica necessária para elevar a temperatura de uma massa é dada pela fórmula
Q=m\;c\;(\Theta_{\mathrm{f}}-\Theta_{\mathrm{i}}),
onde:
  • Q é a quantidade de calor (energia) necessária;
  • m é a massa da substância;
  • c é o calor específico (quantas calorias ou joules são necessários para aquecer 1 g ou 1 kg por 1^\circ\mathrm{C});
  • \Theta_{\mathrm{f}}-\Theta_{\mathrm{i}} é a variação de temperatura.
A potência média necessária para fornecer essa energia em um tempo t é
P=\frac{Q}{t},
onde P é em watts se Q estiver em joules e t em segundos.
Para projetar a resistência elétrica usando tensão V, usamos a relação entre potência, tensão e resistência. Pela lei de Ohm e definições de potência elétrica,
P=\frac{V^{2}}{R},
logo a resistência necessária é
R=\frac{V^{2}}{P}.

Passo 3

Organizando unidades para fazer as contas sem erro. Observação importante: o c dado está em \mathrm{Cal}/\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C}, então é mais simples transformar a massa para gramas antes de usar a fórmula.
  • Converter massa: m=100\\ \mathrm{kg}=100{,}000\\ \mathrm{g}.
  • Variação de temperatura: \Delta\Theta=\Theta_{\mathrm{f}}-\Theta_{\mathrm{i}}=56-20=36^\circ\mathrm{C}.
  • Tempo em segundos: t=2\\ \mathrm{h}=2\times 3600=7200\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular a energia necessária em \mathrm{Cal} com a fórmula Q=m c \Delta\Theta. Substituindo:
Q=100{,}000\\ \mathrm{g}\times 1{,}00\\ \frac{\mathrm{Cal}}{\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C}}\times 36^\circ\mathrm{C}=3{,}600{,}000\\ [\mathrm{Cal}].
Explicação passo a passo: multipliquei a massa em gramas por c (que é calor por grama por grau) e pela variação de temperatura. O resultado é em calorias.

Passo 5

Converter Q de \mathrm{Cal} para joules para usar a fórmula de potência em \mathrm{W}=\mathrm{J}/\mathrm{s}. Usando 1\\ \mathrm{Cal}=4{,}184\\ \mathrm{J}:
Q=3{,}600{,}000\\ [\mathrm{Cal}]\times 4{,}184\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{Cal}}=15{,}062{,}400\\ [\mathrm{J}].
Comentário: sempre verifique unidades! Agora Q está em joules, compatível com t em segundos.

Passo 6

Calcular a potência média necessária usando P=Q/t. Substituindo:
P=\frac{15{,}062{,}400\\ [\mathrm{J}]}{7{,}200\\ [\mathrm{s}]}=2092\\ [\mathrm{W}].
Interpretação: precisamos de um aquecedor que forneça, em média, 2092\\ \mathrm{J} por segundo para atingir a temperatura no tempo desejado. Dá para anotar como aproximadamente 2{,}09\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Agora projetar a resistência elétrica. Usamos R=V^{2}/P. Substituindo V=220\\ \mathrm{V} e P=2092\\ \mathrm{W}:
R=\frac{220^{2}}{2092}=\frac{48{,}400}{2092}\approx 23{,}14\\ [\Omega].
Explicação: essa resistência, conectada a 220\\ \mathrm{V}, dissipa a potência desejada segundo P=V^{2}/R. Se escolhermos um aquecedor com resistência próxima desse valor, ele vai fornecer a potência correta (na prática escolhe-se um valor padronizado próximo e considera-se eficiência e perdas).

Passo 8

Observações práticas (curtas e amigáveis):
  • Arredondamentos: mantive os cálculos com precisão exata até a conversão; o resultado final foi arredondado a duas casas decimais para a resistência por ser suficiente para projeto inicial.
  • Segurança: em projeto real deve-se considerar perdas térmicas, eficiência do aquecedor e margem de segurança, mas aqui seguimos a hipótese do enunciado de que todo o calor vai para a água.

Resposta

P=2092\\ [\mathrm{W}]
R=23{,}14\\ [\Omega]

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