Um campo magnético de frequência de 10 Hz incide numa blindagem de ferro \left(\sigma=10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mu_{r}=2000\right). Calcule a espessura desta chapa para que, no outro lado da mesma, o campo não exceda 2 \% do campo incidente.

Passo 1

Dados fornecidos:
\;f=10\\ \mathrm{Hz}, \sigma=10^{7}\\ \mathrm{S/m}, \mu_{r}=2000.
O que se pede: calcular a espessura d da chapa de ferro tal que o campo do outro lado não exceda 2\% do campo incidente (ou seja, a amplitude transmitida deve ser \leq 0{,}02 vezes a incidente).

Passo 2

Conceito físico e fórmula que usaremos (explicação didática):
Quando uma onda eletromagnética plana incide sobre um bom condutor, a amplitude do campo elétrico/magnético dentro do condutor decai exponencialmente com a profundidade x segundo
\text{amplitude}(x)=\text{amplitude}(0)\,e^{-\alpha x},
onde \alpha é o coeficiente de atenuação (unidade \mathrm{m^{-1}}). Para um bom condutor temos a aproximação
\alpha=\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}},
em que:
\omega é a frequência angular ( \omega=2\pi f); \mu é a permeabilidade absoluta do material ( \mu=\mu_{r}\mu_{0}); \sigma é a condutividade elétrica.
A “profundidade de pele” \delta é definida por
\delta=\frac{1}{\alpha}=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}.
Física intuitiva: \delta é a espessura na qual a amplitude cai por um fator e (≈2,718). Se queremos que a amplitude após atravessar a chapa de espessura d seja uma fração T da incidente, impomos
e^{-d/\delta}=T.
Daí
d=-\delta\ln(T)=\delta\ln\!\left(\frac{1}{T}\right).
Neste problema T=0{,}02.

Passo 3

Calcular os parâmetros numéricos:
Frequência angular
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 10=20\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Permeabilidade absoluta
\mu=\mu_{r}\mu_{0}=\;2000\cdot 4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Vamos calcular numericamente \mu:
\mu=2000\cdot 4\pi\cdot 10^{-7}=2000\cdot (4\pi\times 10^{-7})\approx 2000\cdot 1{,}25663706\times 10^{-6}\approx 2{,}51327412\times 10^{-3}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 4

Calcular a profundidade de pele \delta:
A fórmula é
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}.
Substituindo \omega=20\pi, \mu\approx 2{,}51327412\times 10^{-3}\\ \mathrm{H/m} e \sigma=10^{7}\\ \mathrm{S/m},
primeiro calculamos o produto \omega\mu\sigma.
\omega\mu\sigma=(20\pi)\cdot\bigl(2{,}51327412\times 10^{-3}\bigr)\cdot 10^{7}.
Avaliação numérica:
\bigl(2{,}51327412\times 10^{-3}\bigr)\cdot 10^{7}=2{,}51327412\times 10^{4}.
\omega\mu\sigma=20\pi\cdot 2{,}51327412\times 10^{4}\approx 62{,}83185307\cdot 2{,}51327412\times 10^{4}\approx 1{,}57913672\times 10^{6}.
Agora
\delta=\sqrt{\frac{2}{1{,}57913672\times 10^{6}}}=\sqrt{1{,}26651\times 10^{-6}}\approx 1{,}12596\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros:
\delta\approx 1{,}12596\\ \mathrm{mm}\quad(\text{ou}\\ \delta\approx 1{,}126\\ \mathrm{mm}).

Passo 5

Encontrar a espessura d exigida para que a transmissão seja T=0{,}02.
Usamos
d=\delta\ln\!\left(\frac{1}{T}\right)=\delta\ln(50),
pois 1/T=1/0{,}02=50.
Calculando:
\ln(50)\approx 3{,}912023005.
d\approx 1{,}12596\times 10^{-3}\cdot 3{,}912023005\approx 4{,}402\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros:
d\approx 4{,}402\\ \mathrm{mm}\approx 4{,}40\\ \mathrm{mm}.

Resposta

\;d\approx 4{,}40\\ \mathrm{mm}

Exercícios relacionados