) Numa indústria automatizada, constatou-se que a produção diária de peças (em milhares) nas primeiras t horas de trabalho, é dada pela função: P(t)=\left\{\begin{array}{ll}245\left(2 t^{2}+4 t\right), & \text { para } 0 \leq t \leq 6 \\\\ 183(2 t+10), & \text { para } 6 \leq t \leq 8\end{array}\right. Determinar:
a.) A taxa de variação média de produção durante a 1^{a} e a 3^{a} hora.
b.) Qual a razão de produção (em unidades por hora) da indústria após 5 horas de trabalho? E após 7 horas?
c.) Quantas peças serão produzidas na 3^{a} hora? E na 7^{a} hora?
Passo 1
O enunciado dá a produção acumulada P(t)\) (em milhares de peças) nas primeiras \(t\) horas, definida por
\[P(t)= \begin{cases} 245\bigl(2t^2+4t\bigr),&0\le t\le6,\\\\ 183\bigl(2t+10\bigr),&6\le t\le8. \end{cases}
Precisamos de conceitos de:
Taxa média de variação entre t=a\] e \(t=b, dada por \dfrac{P(b)-P(a)}{b-a}.
Taxa instantânea de variação (derivada) de P, isto é P'(t).
Produção em uma hora específica como P(k)-P(k-1).
Passo 2
(a) Taxa média de variação entre a 1ª e a 3ª hora:
Usamos