) A parametrização racional da circunferência de raio unitário, centrada na origem é dada por:
exceto para o ponto
. Determine, usando as equações paramétricas acima, a equação da reta tangente à circunferência no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização racional da circunferência de raio unitário centrada na origem,
e pede a reta tangente no ponto
. Para isso precisamos (i) achar o valor de
que gera esse ponto e (ii) calcular a derivada
para depois usar a fórmula da reta tangente.
Passo 2
Encontrar
tal que
Multiplicando em cruz:
As raízes são
. Como queremos
(isto é
), escolhemos
Passo 3
Calcular as derivadas paramétricas:
Logo
Passo 4
Avaliar
em
. Temos
então
Logo a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
A equação da reta tangente no ponto
com coeficiente angular
é
Desenvolvendo em forma explícita:
Resposta
A reta tangente é