) Numa indústria automatizada, constatou-se que a produção diária de peças (em milhares) nas primeiras t horas de trabalho, é dada pela função: P(t)=\left\{\begin{array}{ll}245\left(2 t^{2}+4 t\right), & \text { para } 0 \leq t \leq 6 \\\\ 183(2 t+10), & \text { para } 6 \leq t \leq 8\end{array}\right. Determinar:
a.) A taxa de variação média de produção durante a 1^{a} e a 3^{a} hora.
b.) Qual a razão de produção (em unidades por hora) da indústria após 5 horas de trabalho? E após 7 horas?
c.) Quantas peças serão produzidas na 3^{a} hora? E na 7^{a} hora?

Passo 1

O enunciado dá a produção acumulada P(t)\) (em milhares de peças) nas primeiras \(t\) horas, definida por \[P(t)= \begin{cases} 245\bigl(2t^2+4t\bigr),&0\le t\le6,\\\\ 183\bigl(2t+10\bigr),&6\le t\le8. \end{cases}
Precisamos de conceitos de:
  1. Taxa média de variação entre t=a\] e \(t=b, dada por \dfrac{P(b)-P(a)}{b-a}.
  2. Taxa instantânea de variação (derivada) de P, isto é P'(t).
  3. Produção em uma hora específica como P(k)-P(k-1).

Passo 2

(a) Taxa média de variação entre a 1ª e a 3ª hora:
Usamos
\frac{P(3)-P(1)}{3-1}.
Para t=1 e t=3 usamos o ramo 0\le t\le6:
P(1)=245\,(2\cdot1^2+4\cdot1)=245\cdot6=1470 \quad\text{e}\quad P(3)=245\,(2\cdot3^2+4\cdot3)=245\cdot30=7350.
Logo
\frac{7350-1470}{2}= \frac{5880}{2}=2940
(thousands de peças por hora), ou seja 2\,940\,000 peças/h.

Passo 3

(b) Taxa instantânea de produção é P'(t). Em cada ramo:
Para 0\le t\le6,
P(t)=490t^2+980t \quad\Rightarrow\quad P'(t)=980t+980\quad(\text{thousands/h}).
Para 6\le t\le8,
P(t)=366t+1830 \quad\Rightarrow\quad P'(t)=366\quad(\text{thousands/h}).
Assim,
P'(5)=980\cdot5+980=5880\text{ thousands/h} =5\,880\,000\text{ peças/h},ç
P'(7)=366\text{ thousands/h}=366\,000\text{ peças/h}.ç

Passo 4

(c) Produção na k-ésima hora é P(k)-P(k-1).
3ª hora ( k=3), ramo 0\le t\le6:
P(3)=7350,\quad P(2)=245(2\cdot2^2+4\cdot2)=245\cdot16=3920,
P(3)-P(2)=7350-3920=3430\text{ thousands}=3\,430\,000\text{ peças}.ç
7ª hora ( k=7), usamos o ramo 6\le t\le8:
P(7)=183(2\cdot7+10)=183\cdot24=4392,\quad P(6)=183(2\cdot6+10)=183\cdot22=4026,
P(7)-P(6)=4392-4026=366\text{ thousands}=366\,000\text{ peças}.ç

Resposta

(a) 2\,940\,000 peças/h.
(b) Após 5 h: 5\,880\,000 peças/h; após 7 h: 366\,000 peças/h.
(c) 3ª hora: 3\,430\,000 peças; 7ª hora: 366\,000 peças.

Exercícios relacionados