Uma indústria é fabricante de dois tipos de lâmpadas. De sua experiência, o fabricante determinou que se x milhares lâmpadas do primeiro tipo e y milhares lâmpadas do segundo tipo forem feitas, cada uma delas poderá ser vendida pelos valores (100-2 x) e (125-3 y), respectivamente. O custo da fabricação das lâmpadas é obtido por (12 x+11 y+4 x y). Quantos milhares lâmpadas de cada tipo devem ser produzidas para que ele tenha lucro máximo e qual é esse lucro?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
Quantidades produzidas: x milhares de lâmpadas do tipo 1 e y milhares do tipo 2.
Preço de venda por unidade (por lâmpada) em função da produção:\text{tipo 1: }(100-2x),\qquad \text{tipo 2: }(125-3y).
Custo total de fabricação (expressão dada):C(x,y)=12x+11y+4xy.
Pergunta: quantos milhares de lâmpadas de cada tipo (x e y) devem ser produzidos para que o lucro seja máximo e qual é esse lucro?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As variáveis x e y já estão medidas em milhares de lâmpadas.
Devemos construir a função lucro (receita total menos custo) e otimizá‑la.
Implicitamente temos restrições naturais: x\ge 0, y\ge 0. Além disso, para que os preços sejam não negativos temos 100-2x\ge0\Rightarrow x\le50 e 125-3y\ge0\Rightarrow y\le\frac{125}{3}\approx41{,}67. Vou checar que a solução interna encontrada respeita essas restrições.
Passo 2
Vamos montar a função lucro passo a passo.
Receita do tipo 1: quantidade \times preço por unidade.
Como a quantidade é x (milhares) e o preço por lâmpada é (100-2x), a receita referente ao tipo 1 é
R_1(x)=x(100-2x).
Aqui x é o número de milhares; R_1 tem unidade “milhares de unidades monetárias” (mantemos as unidades consistentes).
Explico rápido o raciocínio: multiplicamos a quantidade pelo preço para obter receita; depois subtraímos o custo que já está dado como função de x e y.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão do lucro P(x,y) para ficar mais fácil derivar:
Começando de
P(x,y)=x(100-2x)+y(125-3y)-(12x+11y+4xy),
desenvolvendo os produtos:
P(x,y)=100x-2x^2+125y-3y^2-12x-11y-4xy.
Juntando termos semelhantes (coeficientes de x e y):
P(x,y)=-2x^2-3y^2-4xy+88x+114y.
Comentário: cada termo é explicado — por exemplo, -2x^2 vem da queda do preço com aumento da produção do tipo 1, -4xy é o efeito cruzado do custo 4xy, e 88x resulta de 100x-12x.
Passo 4
Para encontrar o máximo interno de P(x,y) usamos o método padrão: calcular gradiente, igualar a zero e resolver.
Verificamos a definitude: o elemento \frac{\partial^2 P}{\partial x^2}=-4<0 e o determinante de H é
\det(H)=(-4)(-6)-(-4)(-4)=24-16=8>0.
Como a primeira derivada segunda principal é negativa e o determinante é positivo, H é definida negativa. Isso implica que P tem um máximo local no ponto crítico encontrado. Como o domínio relevante é fechado e x,y ficam com limites (preço não negativo), e o ponto está no interior (x=9\le50, y=13\le125/3), esse máximo local é também o máximo global viável.]
Passo 7
Calculamos o lucro máximo substituindo (x,y)=(9,13) na expressão de P.
Usando
P(x,y)=-2x^2-3y^2-4xy+88x+114y,
substituo x=9 e y=13:
Calcule passo a passo:
-2x^2=-2\cdot 9^2=-2\cdot81=-162,
-3y^2=-3\cdot 13^2=-3\cdot169=-507,
-4xy=-4\cdot 9\cdot13=-4\cdot117=-468,
88x=88\cdot9=792,
114y=114\cdot13=1482.
Somando:
P(9,13) = -162-507-468+792+1482.
Some os positivos: 792+1482=2274. Some os negativos: -162-507-468= -1137.
Logo
P(9,13)=2274-1137=1137.
Interpretação de unidades: como x e y estavam em milhares, a função P ficou em milhares de unidades monetárias. Portanto o lucro máximo é 1137 milhares de unidades monetárias, isto é, 1{,}137{,}000 unidades monetárias.
Passo 8
Cheque rápido das restrições e conclusão final:
Preço do tipo 1 em x=9: 100-2\cdot9=82>0.
Preço do tipo 2 em y=13: 125-3\cdot13=86>0.
Ambos não violam as restrições de não negatividade de preço e quantidade.
Portanto a solução é viável e o lucro encontrado é o máximo.
Força aí — você já tem o procedimento padrão para questões similares: montar lucro, derivar, resolver sistema, verificar Hessiana e checar fronteiras.