Uma indústria é fabricante de dois tipos de lâmpadas. De sua experiência, o fabricante determinou que se x milhares lâmpadas do primeiro tipo e y milhares lâmpadas do segundo tipo forem feitas, cada uma delas poderá ser vendida pelos valores (100-2 x) e (125-3 y), respectivamente. O custo da fabricação das lâmpadas é obtido por (12 x+11 y+4 x y). Quantos milhares lâmpadas de cada tipo devem ser produzidas para que ele tenha lucro máximo e qual é esse lucro?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Quantidades produzidas: x milhares de lâmpadas do tipo 1 e y milhares do tipo 2.
  • Preço de venda por unidade (por lâmpada) em função da produção: \text{tipo 1: }(100-2x),\qquad \text{tipo 2: }(125-3y).
  • Custo total de fabricação (expressão dada): C(x,y)=12x+11y+4xy.
  • Pergunta: quantos milhares de lâmpadas de cada tipo ( x e y) devem ser produzidos para que o lucro seja máximo e qual é esse lucro?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As variáveis x e y já estão medidas em milhares de lâmpadas.
  • Devemos construir a função lucro (receita total menos custo) e otimizá‑la.
  • Implicitamente temos restrições naturais: x\ge 0, y\ge 0. Além disso, para que os preços sejam não negativos temos 100-2x\ge0\Rightarrow x\le50 e 125-3y\ge0\Rightarrow y\le\frac{125}{3}\approx41{,}67. Vou checar que a solução interna encontrada respeita essas restrições.

Passo 2

Vamos montar a função lucro passo a passo.
  • Receita do tipo 1: quantidade \times preço por unidade.
    Como a quantidade é x (milhares) e o preço por lâmpada é (100-2x), a receita referente ao tipo 1 é
    R_1(x)=x(100-2x).
    Aqui x é o número de milhares; R_1 tem unidade “milhares de unidades monetárias” (mantemos as unidades consistentes).
  • Receita do tipo 2:
    R_2(y)=y(125-3y).
  • Receita total:
    R(x,y)=R_1(x)+R_2(y)=x(100-2x)+y(125-3y).
  • Lucro P(x,y) = receita total − custo:
    P(x,y)=R(x,y)-C(x,y)=x(100-2x)+y(125-3y)-(12x+11y+4xy).
Explico rápido o raciocínio: multiplicamos a quantidade pelo preço para obter receita; depois subtraímos o custo que já está dado como função de x e y.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão do lucro P(x,y) para ficar mais fácil derivar:
Começando de
P(x,y)=x(100-2x)+y(125-3y)-(12x+11y+4xy),
desenvolvendo os produtos:
P(x,y)=100x-2x^2+125y-3y^2-12x-11y-4xy.
Juntando termos semelhantes (coeficientes de x e y):
P(x,y)=-2x^2-3y^2-4xy+88x+114y.
Comentário: cada termo é explicado — por exemplo, -2x^2 vem da queda do preço com aumento da produção do tipo 1, -4xy é o efeito cruzado do custo 4xy, e 88x resulta de 100x-12x.

Passo 4

Para encontrar o máximo interno de P(x,y) usamos o método padrão: calcular gradiente, igualar a zero e resolver.
Calculamos as derivadas parciais:
  • Parcial em relação a x:
    \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x^2-3y^2-4xy+88x+114y\bigr) = -4x-4y+88.
  • Parcial em relação a y:
    \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x^2-3y^2-4xy+88x+114y\bigr) = -6y-4x+114.
No ponto crítico interno, o gradiente é nulo, isto é, resolvemos o sistema
\begin{cases} -4x-4y+88=0,\\[4pt] -4x-6y+114=0. \end{cases}]

Passo 5

Agora resolvemos o sistema linear das equações normais. Primeiro simplifico a primeira equação dividindo por -4:
x+y-22=0\quad\Rightarrow\quad x+y=22.
A segunda equação, divido por -2 para simplificar:
2x+3y-57=0\quad\Rightarrow\quad 2x+3y=57.
Resolvo por substituição: da primeira, x=22-y. Substituo na segunda:
2(22-y)+3y=57.
Calculando:
44-2y+3y=57 \quad\Rightarrow\quad 44+y=57 \quad\Rightarrow\quad y=13.
Então x=22-y=22-13=9.
Interpretação: a solução crítica é \,x=9 e \,y=13, isto é, produzir 9 milhares (9.000) lâmpadas do tipo 1 e 13 milhares (13.000) do tipo 2.

Passo 6

Precisamos verificar que esse ponto crítico é realmente um máximo (e não mínimo ou sela). Usamos a matriz Hessiana de P:
A Hessiana é
H=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial^2 P}{\partial x^2} & \displaystyle\frac{\partial^2 P}{\partial x\partial y}\\[6pt] \displaystyle\frac{\partial^2 P}{\partial y\partial x} & \displaystyle\frac{\partial^2 P}{\partial y^2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4 & -4\\[4pt] -4 & -6 \end{pmatrix}.
Verificamos a definitude: o elemento \frac{\partial^2 P}{\partial x^2}=-4<0 e o determinante de H é
\det(H)=(-4)(-6)-(-4)(-4)=24-16=8>0.
Como a primeira derivada segunda principal é negativa e o determinante é positivo, H é definida negativa. Isso implica que P tem um máximo local no ponto crítico encontrado. Como o domínio relevante é fechado e x,y ficam com limites (preço não negativo), e o ponto está no interior ( x=9\le50, y=13\le125/3), esse máximo local é também o máximo global viável.]

Passo 7

Calculamos o lucro máximo substituindo (x,y)=(9,13) na expressão de P.
Usando
P(x,y)=-2x^2-3y^2-4xy+88x+114y,
substituo x=9 e y=13:
Calcule passo a passo:
-2x^2=-2\cdot 9^2=-2\cdot81=-162,
-3y^2=-3\cdot 13^2=-3\cdot169=-507,
-4xy=-4\cdot 9\cdot13=-4\cdot117=-468,
88x=88\cdot9=792,
114y=114\cdot13=1482.
Somando:
P(9,13) = -162-507-468+792+1482.
Some os positivos: 792+1482=2274. Some os negativos: -162-507-468= -1137.
Logo
P(9,13)=2274-1137=1137.
Interpretação de unidades: como x e y estavam em milhares, a função P ficou em milhares de unidades monetárias. Portanto o lucro máximo é 1137 milhares de unidades monetárias, isto é, 1{,}137{,}000 unidades monetárias.

Passo 8

Cheque rápido das restrições e conclusão final:
  • Preço do tipo 1 em x=9: 100-2\cdot9=82>0.
  • Preço do tipo 2 em y=13: 125-3\cdot13=86>0.
  • Ambos não violam as restrições de não negatividade de preço e quantidade.
    Portanto a solução é viável e o lucro encontrado é o máximo.
Força aí — você já tem o procedimento padrão para questões similares: montar lucro, derivar, resolver sistema, verificar Hessiana e checar fronteiras.

Resposta

x=9 milhares, y=13 milhares.
Lucro máximo =1137 (milhares de unidades monetárias) = 1{,}137{,}000 unidades monetárias.

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