Em uma indústria metalúrgica, um portão de segurança de alta tonelagem é projetado para fechar e travar automaticamente em caso de falha de energia. O sistema de travamento final é um pino de aço acionado por um sistema hidráulico baseado no Princípio de Pascal. Para garantir o travamento seguro, o pino (atuando como êmbolo maior) precisa exercer uma força de 12.000 N contra a estrutura do portão. A área do êmbolo maior é de 1.000 \mathrm{~cm}^{2}, enquanto a área do êmbolo menor, onde a força de acionamento é aplicada, é de 20 \mathrm{~cm}^{2}. Um engenheiro de segurança está avaliando se o atuador disponível, que consegue aplicar uma força máxima de 250 N no êmbolo menor, é adequado para o sistema.
Com base nessas informações, qual das alternativas descreve corretamente a análise do sistema?
a) O atuador é inadequado, pois a pressão necessária para mover o pino é de 600 \mathrm{N} / \mathrm{cm}^{2}, e a pressão máxima que o atuador consegue gerar é de apenas 12,5 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}^{2}.
b) O Princípio de Pascal estabelece que a força aplicada é conservada em todo o fluido. Portanto, a força máxima de 250 N do atuador é insuficiente para gerar os 12.000 N necessários.
c) A vantagem mecânica do sistema é de 50 vezes, o que significa que o atuador geraria uma força de travamento de 12.500 N . Por ser um valor acima do especificado, o sistema é instável e perigoso.
d) O atuador é adequado, pois a força mínima necessária no êmbolo menor para gerar os 12.000 N de travamento é de 240 N , um valor que está dentro da capacidade máxima do atuador.

Passo 1

O enunciado (peguei estes números do enunciado) dá os seguintes dados e pede identificar qual alternativa está correta sobre a adequação do atuador:
  • Força necessária no pino (êmbolo maior): F_{\text{grande}}=12000\\ \mathrm{N}.
  • Área do êmbolo maior: A_{\text{grande}}=1000\\ \mathrm{cm}^2.
  • Área do êmbolo menor (onde o atuador aplica força): A_{\text{pequeno}}=20\\ \mathrm{cm}^2.
  • Força máxima que o atuador pode aplicar: F_{\text{pequeno,max}}=250\\ \mathrm{N}.
A pergunta: com base nesses dados, qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) descreve corretamente a análise do sistema?

Passo 2

Explicação do princípio físico e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e sem pular etapas).
  • O Princípio de Pascal diz que, em um fluido incompressível transmitindo pressão sem perdas, a pressão aplicada em qualquer ponto do fluido se transmite integralmente a todos os pontos do fluido. Isso significa que a pressão gerada no êmbolo pequeno é a mesma pressão sentida no êmbolo grande.
  • Pressão é definida como força por unidade de área. Vou usar a letra p para pressão, F para força e A para área. A fórmula básica é:
p = \frac{F}{A}
onde:
  • p é a pressão (unidade aqui \mathrm{N/cm^2} porque estamos usando \mathrm{cm}^2 para área),
  • F é a força aplicada (em \mathrm{N}),
  • A é a área sobre a qual a força age (em \mathrm{cm}^2).
  • Pelo Princípio de Pascal, a pressão do fluido é a mesma nos dois êmbolos:
\frac{F_{\text{pequeno}}}{A_{\text{pequeno}}}=\frac{F_{\text{grande}}}{A_{\text{grande}}}.
Dessa relação podemos obter tanto F_{\text{pequeno}} necessário para gerar uma certa F_{\text{grande}}, quanto a força que o atuador realmente gera no êmbolo grande.

Passo 3

Calcular a pressão que precisa existir no fluido para obter a força de 12{,}000\\ \mathrm{N} no êmbolo maior (usei F_{\text{grande}} e A_{\text{grande}} do enunciado):
p_{\text{necessária}}=\frac{F_{\text{grande}}}{A_{\text{grande}}}=\frac{12000}{1000}=12\\ \mathrm{N/cm^2}.á
Interpretação: é preciso que o fluido atinja uma pressão de 12\\ \mathrm{N/cm^2} para gerar 12{,}000\\ \mathrm{N} no êmbolo grande.

Passo 4

Calcular a pressão que o atuador pode gerar no fluido quando aplica a sua força máxima no êmbolo pequeno (usei F_{\text{pequeno,max}} e A_{\text{pequeno}} do enunciado):
p_{\text{máx do atuador}}=\frac{F_{\text{pequeno,max}}}{A_{\text{pequeno}}}=\frac{250}{20}=12{,}5\\ \mathrm{N/cm^2}.á
Interpretação: o atuador consegue gerar até 12{,}5\\ \mathrm{N/cm^2} de pressão no fluido.

Passo 5

Comparação das pressões e cálculo da força pequena necessária:
  • Comparei p_{\text{máx do atuador}}=12{,}5\\ \mathrm{N/cm^2}á com p_{\text{necessária}}=12\\ \mathrm{N/cm^2}á. Como 12{,}5>12, o atuador é capaz de gerar a pressão necessária.
  • Outra forma direta (usando a relação de Pascal) para saber qual força no êmbolo menor é necessária para obter 12{,}000\\ \mathrm{N} no êmbolo maior:
F_{\text{pequeno,req}} = F_{\text{grande}}\cdot\frac{A_{\text{pequeno}}}{A_{\text{grande}}} = 12000\cdot\frac{20}{1000}=12000\cdot0{,}02=240\\ \mathrm{N}.
Interpretação: são necessários 240\\ \mathrm{N} no êmbolo pequeno. O atuador pode dar até 250\\ \mathrm{N}, portanto tem margem de 10\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Avaliação das alternativas uma a uma, com cálculos e explicações:
  • Alternativa (a): diz que a pressão necessária é 600\\ \mathrm{N/cm^2} e que p_{\text{máx}}=12{,}5\\ \mathrm{N/cm^2}á. Eu calculei p_{\text{necessária}}=12\\ \mathrm{N/cm^2}á, não 600. O número 600 provavelmente vem de \tfrac{12000}{20}=600, que é a divisão da força grande pela área do êmbolo pequeno — isso mistura grandeza errada. Portanto (a) está errada.
  • Alternativa (b): afirma que, pelo Princípio de Pascal, a força aplicada é conservada em todo o fluido e que 250\\ \mathrm{N} é insuficiente. Isso está conceitualmente errado: Pascal trata da transmissão de pressão, não de conservação direta da força. A força se transforma conforme as áreas dos êmbolos; por isso um pequeno esforço pode resultar em grande força no êmbolo maior. Logo (b) está errada.
  • Alternativa (c): afirma que a vantagem mecânica é 50 vezes (isso é verdade porque A_{\text{grande}}/A_{\text{pequeno}}=1000/20=50) e que o atuador geraria 250\cdot50=12500\\ \mathrm{N} — o produto está correto numericamente. Porém a conclusão de que, por ser acima do especificado, “o sistema é instável e perigoso” não segue logicamente; gerar uma força ligeiramente maior que o necessário não implica automaticamente instabilidade ou perigo (isso depende de projeto, dispositivos de limite, folgas, materiais, etc.). Portanto (c) mistura uma parte verdadeira com uma conclusão incorreta e, como enunciada, está incorreta como análise final. Além disso, a alternativa (c) contradiz a alternativa (d) que dá o valor exato necessário no êmbolo menor; ambas não podem estar corretas ao mesmo tempo.
  • Alternativa (d): diz que a força mínima necessária no êmbolo menor é 240\\ \mathrm{N}, e que isso está dentro da capacidade máxima do atuador ( 250\\ \mathrm{N}). Isso coincide exatamente com o cálculo feito em F_{\text{pequeno,req}}=240\\ \mathrm{N} e com a verificação de que 250>240. Portanto (d) está correta.

Passo 7

Resumo final: os cálculos mostraram que o atuador, capaz de 250\\ \mathrm{N}, pode gerar pressão suficiente ( 12{,}5\\ \mathrm{N/cm^2}) para produzir 12{,}000\\ \mathrm{N} no êmbolo grande, pois são necessários 240\\ \mathrm{N} no êmbolo pequeno. Assim a alternativa correta é a (d).

Resposta

d)

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