Uma indústria metalúrgica produz um cilindro com diâmetro interno tendo distribuição normal com média 36 mm e desvio padrão 0,5 \mathrm{~mm}. O gerente de qualidade da empresa quer determinar limites de controle (inferior e superior) tal que 98 \% das peças produzidas tenham diâmetro dentro destes limites.
a) Encontre esses limites.
b) Dados os limites de especificação ( 34,88,37,12 ), qual o prejuízo da empresa para uma produção mensal de 25000 peças se cada cilindro fora desses limites é sucateado a um custo de \mathrm{R} \ 3,20$ ?

Passo 1

O enunciado define que o diâmetro interno de cada peça segue distribuição normal com média \mu=36 mm e desvio padrão \sigma=0,5 mm. Queremos:
  • (a) limites de controle que abranjam 98\% das peças (área central da normal).
  • (b) dado o intervalo de especificação (34,88;37,12), calcular o prejuízo mensal se cada peça fora desse intervalo é sucateada a \text{R\$}\,3,20 e a produção mensal é de 25000 peças.

Passo 2

Para abranger 98\% de área central da normal, cada cauda terá probabilidade
\alpha = \frac{1-0,98}{2} = 0,01.
O valor crítico padrão é
z_{1-\alpha} = z_{0,99} \approx 2,3263.

Passo 3

Os limites de controle (LIC e LSC) são dados por \mu \pm z_{0,99}\,\sigma. Logo,
LIC = 36 - 2,3263\times0,5 \approx 34,8368,
LSC = 36 + 2,3263\times0,5 \approx 37,1632.
Arredondando para dois decimais, LIC\approx34,84 mm e LSC\approx37,16 mm.

Passo 4

Para os limites de especificação LI=34,88 mm e LS=37,12 mm, padronizamos:
z_{LI} = \frac{34,88-36}{0,5} = -2,24, \quad z_{LS} = \frac{37,12-36}{0,5} = 2,24.
A probabilidade de X<LI ou X>LS é
2\times P(Z>2,24) \approx 2\times0,0125 = 0,025 = 2,5\%.
Em 25000 peças, sucateiam-se 0,025\times25000 = 625 peças.

Passo 5

O custo de sucatear 625 peças a \text{R\$}\,3,20 cada é
625 \times 3,20 = 2000.
Portanto, o prejuízo mensal é \text{R\$}\,2000.

Resposta

(a) LIC \approx 34,84 mm e LSC \approx 37,16 mm.
(b) Prejuízo de \text{R\$}\,2000.

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