Seja uma v.a. X e seja g(\mathrm{x}) uma função de X. Se g(\mathrm{x})=a+b x+c x^{2}, mostre que: E[g(X)]=a+b E(X)+c[E(X)]^{2}+c \operatorname{Var}(X).

Passo 1

O enunciado considera uma variável aleatória X e a função g definida por
g(x)=a + b\,x + c\,x^2.
Queremos calcular E[g(X)]. Para isso vamos usar duas propriedades básicas: linearidade da esperança e a definição de variância.

Passo 2

Pela linearidade da esperança temos
E[g(X)] = E\bigl(a + b\,X + c\,X^2\bigr) = E(a) + E(b\,X) + E(c\,X^2).
Como a, b e c são constantes,
E(a)=a,\quad E(b\,X)=b\,E(X),\quad E(c\,X^2)=c\,E(X^2),
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E[g(X)] = a + b\,E(X) + c\,E(X^2).

Passo 3

Lembremos que a variância de X é definida por
\Var(X) = E(X^2) - \bigl[E(X)\bigr]^2.
Desse modo podemos isolar E(X^2):
E(X^2) = \Var(X) + \bigl[E(X)\bigr]^2.

Passo 4

Substituindo E(X^2) em E[g(X)] obtemos
E[g(X)] = a + b\,E(X) + c\bigl(\Var(X) + [E(X)]^2\bigr).
Expandindo o termo em parênteses
E[g(X)] = a + b\,E(X) + c\,[E(X)]^2 + c\,\Var(X).

Resposta

E[g(X)] = a + b\,E(X) + c\,[E(X)]^2 + c\,\Var(X).

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