Seja uma v.a.
e seja
uma função de
. Se
, mostre que:
.
Passo 1
O enunciado considera uma variável aleatória
e a função
definida por
Queremos calcular
. Para isso vamos usar duas propriedades básicas: linearidade da esperança e a definição de variância.
Passo 2
Pela linearidade da esperança temos
Como
,
e
são constantes,
logo
Passo 3
Lembremos que a variância de
é definida por
Desse modo podemos isolar
:
Passo 4
Substituindo
em
obtemos
Expandindo o termo em parênteses