Uma indústria para obtenção de ácido cítrico em cultivo em supersicie, dispóe de bandejas de aluminio de dimensões 100 \times 100 \times 25 \mathrm{~cm}. Com um mosto contendo 150 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de sacarose o que leva a rendimentos de 0.75 (peso de ácido/peso de açúcar fermentado) e o volume útil da bandeja é de 80 \%. Considerando que ao fim de 10 dias a sacarose foi totalmente consumida, qual o número de bandejas que deverão ser utilizadas para sma produção de 50 ton/mês ( 1,5 ponto).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei todos os números do enunciado).
  • Dimensões da bandeja: 100\times100\times25\\ \mathrm{cm}.
  • Concentração inicial do mosto em sacarose: 150\\ \mathrm{g/L}.
  • Rendimento: 0,75 (peso de ácido cítrico produzido por peso de açúcar fermentado), isto é, 0,75\\ \mathrm{g\\ ácido}/\mathrm{g\\ açúcar}áçú.
  • Volume útil da bandeja: 80\% do volume geométrico.
  • Tempo de cultivo (um ciclo até consumir toda a sacarose): 10 dias.
  • Produção desejada: 50\\ \mathrm{ton}/\mathrm{mês}ê (ou seja 50\,000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{mês}ê).
  • O enunciado pede: número de bandejas necessárias para atingir a produção de 50\\ \mathrm{ton}/\mathrm{mês}ê.
Observação necessária (assunção): vou considerar mês com 30 dias para calcular quantos ciclos cabem por mês (como o enunciado não especifica, 30 dias é uma hipótese comum em problemas práticos).

Passo 2

Calcular o volume geométrico de uma bandeja e converter para litros (explicação: 1\\ \mathrm{L}=1000\\ \mathrm{cm}^3).
V_{\text{geom}} = 100\\ \mathrm{cm}\times100\\ \mathrm{cm}\times25\\ \mathrm{cm} = 250\,000\\ \mathrm{cm}^3.
V_{\text{geom}} = \dfrac{250\,000\\ \mathrm{cm}^3}{1000\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{L}} = 250\\ \mathrm{L}.
Explicação didática curta: multiplicando as três dimensões em centímetros obtém-se centímetros cúbicos; dividir por 1000 transforma em litros, que é a unidade conveniente para relacionar com a concentração em \mathrm{g/L}.

Passo 3

Calcular o volume útil por bandeja usando a fração de 80\%.
V_{\text{útil}} = 0{,}80 \times 250\\ \mathrm{L} = 200\\ \mathrm{L}.ú
Explicação: o volume útil é a parte do volume geométrico que realmente é preenchida com mosto.

Passo 4

Calcular a massa de sacarose presente em uma bandeja no início do ciclo (explicação: massa = concentração \times volume).
C_s = 150\\ \mathrm{g/L},\qquad V_{\text{útil}} = 200\\ \mathrm{L}.ú
m_{\text{sacarose}} = V_{\text{útil}}\times C_s = 200\\ \mathrm{L}\times150\\ \mathrm{g/L} = 30\,000\\ \mathrm{g}.ú
Converter para quilogramas:
m_{\text{sacarose}} = 30\,000\\ \mathrm{g} = 30\\ \mathrm{kg}.
Didática: a concentração em \mathrm{g/L} multiplicada pelo volume em \mathrm{L} dá massa em gramas.

Passo 5

Usar o rendimento para obter a massa de ácido cítrico produzida por bandeja em um ciclo (explicação do conceito de rendimento: fração da massa de substrato que vira produto).
Y = 0{,}75\\ \frac{\text{kg ácido}}{\text{kg açúcar}}.áçú
m_{\text{ácido,ciclo}} = Y \times m_{\text{sacarose}} = 0{,}75\times30\\ \mathrm{kg} = 22{,}5\\ \mathrm{kg}.á
Explicação: para cada quilograma de açúcar consumido, são gerados 0{,}75 kg de ácido cítrico.

Passo 6

Calcular quantos ciclos cabem por mês (assumindo mês de 30 dias).
\text{duração por ciclo} = 10\\ \text{dias},\qquad \text{dias no mês}=30.çãê
n_{\text{ciclos/mês}} = \dfrac{30}{10} = 3\\ \text{ciclos por mês}.êê
Didática: dividir os dias do mês pelo tempo de cada ciclo dá o número de lotes que podem ser produzidos por bandeja no mês.

Passo 7

Calcular a produção de ácido cítrico por bandeja por mês.
m_{\text{ácido,mês,por bandeja}} = m_{\text{ácido,ciclo}}\times n_{\text{ciclos/mês}} = 22{,}5\\ \mathrm{kg}\times3 = 67{,}5\\ \mathrm{kg}.áêáê
Em toneladas:
67{,}5\\ \mathrm{kg} = 0{,}0675\\ \mathrm{ton}.
Explicação: multiplicamos o que cada bandeja produz por ciclo pelo número de ciclos mensais.

Passo 8

Calcular o número de bandejas necessárias para atingir a produção alvo mensal usando balanço simples (explicação da fórmula).
Seja M_{\text{alvo}}=50\\ \mathrm{ton}/\mathrm{mês}=50\,000\\ \mathrm{kg}ê. O número necessário N satisfaz
N = \dfrac{M_{\text{alvo}}}{m_{\text{ácido,mês,por bandeja}}}.áê
Substituindo:
N = \dfrac{50\,000\\ \mathrm{kg}}{67{,}5\\ \mathrm{kg}} \approx 740{,}740\ldots
Explicação: obtivemos um valor não inteiro; como não se pode ter fração de bandeja, é necessário arredondar para cima (sempre arredondar para cima quando se trata de número de equipamentos/recipientes a utilizar).

Passo 9

Conclusão prática e arredondamento (explicação do porquê do arredondamento para cima).
  • O cálculo dá aproximadamente 740{,}74 bandejas.
  • Deve-se usar um número inteiro de bandejas e garantir a produção mínima desejada; portanto arredonda-se para cima para não ficar abaixo da meta.

Resposta

741 bandejas

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