No acompanhamento do crescimento de uma espécie de levedura, foram obtidos os seguintes dados:
0
20,00
26
7,50
4
20,00
30
3,00
10
19,50
34
1,00
15
17,00
36
0,50
22
12,00
40
0,20
Neste estudo empregou-se uma concentração inicial de células igual a
o fator de conversão de substrato em células
manteve-se constante e igual a
de célula
de substrato consumido. A partir destes dados:
a) Indicar em um gráfico " X versus t " as fases da curva de crescimento. Explique ( 1,0 ponto);
b) Determinar o valor da velocidade específica de crescimento (
) na fase exponencial ( 1,0 ponto).
|
|
|
|
|
| 0 | 20,00 | 26 | 7,50 |
| 4 | 20,00 | 30 | 3,00 |
| 10 | 19,50 | 34 | 1,00 |
| 15 | 17,00 | 36 | 0,50 |
| 22 | 12,00 | 40 | 0,20 |
a) Indicar em um gráfico " X versus t " as fases da curva de crescimento. Explique ( 1,0 ponto);
b) Determinar o valor da velocidade específica de crescimento (
Passo 1
O enunciado dá os valores de concentração de substrato
ao longo do tempo
(peguei esses números da tabela do enunciado) e fornece informações adicionais. Vou listar claramente o que temos e o que se pede.
Dados fornecidos:
- Tabela (extraída do enunciado):
-
- Concentração inicial de células:
. - Rendimento constante:
.
O que se pede:
a) Em um gráfico versus
: indicar as fases da curva de crescimento e explicar (identificar lag, exponencial, estacionária/declínio conforme se observa).
b) Determinar o valor da velocidade específica de crescimento na fase exponencial.
a) Em um gráfico
b) Determinar o valor da velocidade específica de crescimento
Passo 2
Como obter
a partir de
: relação rendimento e balanço simples.
- Conceito: o rendimento
diz quantos gramas de biomassa (células) são formados por grama de substrato consumido. Se o substrato inicial é e no tempo vale , a massa de substrato consumida até é . - Então a biomassa total no tempo
é
Aqui cada símbolo significa:
-
: concentração de células no tempo (g/L). -
: concentração inicial de células (g/L). -
: rendimento (g células por g substrato). -
: substrato inicial, que é o valor de em (g/L). -
: substrato no tempo (g/L).
No nosso caso
,
e
. Substituindo,
Fazendo a álgebra,
Esta fórmula é a que vamos usar para transformar cada
em
.
Passo 3
Calcular
para cada tempo usando
. Vou mostrar as contas e o resultado para cada par
:
-
. (confere com). -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Resumo (pares
que podem ser plotados em
versus
):
-
, , , , , , , , , .
Passo 4
Identificação e explicação das fases no gráfico
versus
:
- Observação dos pontos: entre
e a biomassa permanece em (sem aumento). Esse comportamento caracteriza a fase de atraso (lag): as células estão se adaptando ao meio e não crescem em concentração mensurável. Portanto fase de lag em aproximadamente a . - A partir de
os valores de começam a aumentar: valores em (0,75), (2,00), (4,50), (6,75) e (9,00) mostram crescimento rápido e que, quando representado em escala logarítmica ( versus ), se aproxima de uma reta — sinal de crescimento exponencial. Assim a fase exponencial está aprox. entre e (pode-se considerar que o crescimento “começa” após a adaptação, e escolhemos o intervalo onde o se alinha bem). - Depois de
o aumento em desacelera: entre e os incrementos são pequenos (de para ). Isso indica aproximação à fase estacionária (substrato quase esgotado; crescimento muito reduzido) — podemos chamar de fase estacionária/declínio fraco na janela .
Comentário curto de interpretação: a queda do substrato
(chegando a valores muito baixos após 30 h) explica a desaceleração do crescimento — sem substrato suficiente, a taxa específica cai e a curva de
aproxima-se de um platô.
Passo 5
Determinar a velocidade específica de crescimento
na fase exponencial.
Como calcular
:
- Modelo na fase exponencial:
. Tomando logaritmo natural obtemos uma relação linear:
ou em forma geral
. Assim
é a inclinação da reta em um gráfico
versus
.
Escolha do intervalo exponencial:
- Usei os pontos que visualmente caem na reta exponencial:
(os dados intermediários antes da forte desaceleração por falta de substrato).
Cálculo prático (método dos mínimos quadrados, para obter boa estimativa da inclinação):
- Dados usados (já calculei
antes); computei para cada ponto: -
Aplicando a fórmula da inclinação por mínimos quadrados:
onde
é o número de pontos usados.
Monte os somatórios (mostrando os resultados numéricos usados):
-
. -
. -
. -
.
Substituindo,
Interpretação e verificação rápida:
-
é a taxa específica de crescimento durante a fase exponencial escolhida. - Tempo de duplicação (uma verificação útil):
. Isso ajuda a checar se o valor faz sentido com os aumentos observados (crescimento de 0,75 para 9,0 em 20 h é compatível com uma taxa desse porte).
Passo 6
Observações finais e incentivo: escolhemos o intervalo
porque ali
se aproxima bem de uma reta; se alguém preferir usar apenas dois pontos, obterá valores próximos, mas a regressão com vários pontos dá uma estimativa mais robusta. Você já tem todas as contas mostradas para refazer passo a passo em prova — respira, releia devagar cada passo e refaça as somas num caderno que fica mais fácil!
Resposta
a) Fases em
versus
: lag aproximadamente
; fase exponencial aproximadamente
; fase estacionária/declínio aproximada após
.
b)
.