No acompanhamento do crescimento de uma espécie de levedura, foram obtidos os seguintes dados:
\mathrm{t}(\mathrm{h}) \mathrm{S}(\mathrm{g} / \mathrm{L}) \mathrm{t}(\mathrm{h}) \mathrm{S}(\mathrm{g} / \mathrm{L})
0 20,00 26 7,50
4 20,00 30 3,00
10 19,50 34 1,00
15 17,00 36 0,50
22 12,00 40 0,20
Neste estudo empregou-se uma concentração inicial de células igual a 0,50 \mathrm{~g} / \mathrm{L} \mathrm{e} o fator de conversão de substrato em células \left(\mathrm{Y}_{\mathrm{X} / \mathrm{S}}\right) manteve-se constante e igual a 0,5 \mathrm{~g} de célula / \mathrm{g} de substrato consumido. A partir destes dados:
a) Indicar em um gráfico " X versus t " as fases da curva de crescimento. Explique ( 1,0 ponto);
b) Determinar o valor da velocidade específica de crescimento ( \mu_{\mathrm{x}} ) na fase exponencial ( 1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado dá os valores de concentração de substrato S ao longo do tempo t (peguei esses números da tabela do enunciado) e fornece informações adicionais. Vou listar claramente o que temos e o que se pede.
Dados fornecidos:
  • Tabela (extraída do enunciado):
    • t=0\\ \mathrm{h},\\ S=20,00\\ \mathrm{g/L}
    • t=4\\ \mathrm{h},\\ S=20,00\\ \mathrm{g/L}
    • t=10\\ \mathrm{h},\\ S=19,50\\ \mathrm{g/L}
    • t=15\\ \mathrm{h},\\ S=17,00\\ \mathrm{g/L}
    • t=22\\ \mathrm{h},\\ S=12,00\\ \mathrm{g/L}
    • t=26\\ \mathrm{h},\\ S=7,50\\ \mathrm{g/L}
    • t=30\\ \mathrm{h},\\ S=3,00\\ \mathrm{g/L}
    • t=34\\ \mathrm{h},\\ S=1,00\\ \mathrm{g/L}
    • t=36\\ \mathrm{h},\\ S=0,50\\ \mathrm{g/L}
    • t=40\\ \mathrm{h},\\ S=0,20\\ \mathrm{g/L}
  • Concentração inicial de células: X_0=0,50\\ \mathrm{g/L}.
  • Rendimento constante: Y_{X/S}=0,5\\ \mathrm{g\\ células}/\mathrm{g\\ substrato\\ consumido}é.
O que se pede:
a) Em um gráfico X versus t: indicar as fases da curva de crescimento e explicar (identificar lag, exponencial, estacionária/declínio conforme se observa).
b) Determinar o valor da velocidade específica de crescimento \mu_x na fase exponencial.

Passo 2

Como obter X(t) a partir de S(t): relação rendimento e balanço simples.
  • Conceito: o rendimento Y_{X/S} diz quantos gramas de biomassa (células) são formados por grama de substrato consumido. Se o substrato inicial é S_0 e no tempo t vale S(t), a massa de substrato consumida até t é S_0-S(t).
  • Então a biomassa total no tempo t é
X(t)=X_0 + Y_{X/S}\bigl(S_0-S(t)\bigr).
Aqui cada símbolo significa:
  • X(t): concentração de células no tempo t (g/L).
  • X_0: concentração inicial de células (g/L).
  • Y_{X/S}: rendimento (g células por g substrato).
  • S_0: substrato inicial, que é o valor de S em t=0 (g/L).
  • S(t): substrato no tempo t (g/L).
No nosso caso S_0=20,00\\ \mathrm{g/L}, X_0=0,50\\ \mathrm{g/L} e Y_{X/S}=0,5. Substituindo,
X(t)=0,50 + 0,5\bigl(20,00 - S(t)\bigr).
Fazendo a álgebra,
X(t)=10,50 - 0,5\,S(t).
Esta fórmula é a que vamos usar para transformar cada S(t) em X(t).

Passo 3

Calcular X(t) para cada tempo usando X(t)=10,50-0,5\,S(t). Vou mostrar as contas e o resultado para cada par (t,S):
  • t=0\\ \mathrm{h}:\\ S=20,00.
    X(0)=10,50-0,5\cdot 20,00=10,50-10,00=0,50\\ \mathrm{g/L}.
    (confere com X_0).
  • t=4\\ \mathrm{h}:\\ S=20,00.
    X(4)=10,50-0,5\cdot 20,00=0,50\\ \mathrm{g/L}.
  • t=10\\ \mathrm{h}:\\ S=19,50.
    X(10)=10,50-0,5\cdot 19,50=10,50-9,75=0,75\\ \mathrm{g/L}.
  • t=15\\ \mathrm{h}:\\ S=17,00.
    X(15)=10,50-0,5\cdot 17,00=10,50-8,50=2,00\\ \mathrm{g/L}.
  • t=22\\ \mathrm{h}:\\ S=12,00.
    X(22)=10,50-0,5\cdot 12,00=10,50-6,00=4,50\\ \mathrm{g/L}.
  • t=26\\ \mathrm{h}:\\ S=7,50.
    X(26)=10,50-0,5\cdot 7,50=10,50-3,75=6,75\\ \mathrm{g/L}.
  • t=30\\ \mathrm{h}:\\ S=3,00.
    X(30)=10,50-0,5\cdot 3,00=10,50-1,50=9,00\\ \mathrm{g/L}.
  • t=34\\ \mathrm{h}:\\ S=1,00.
    X(34)=10,50-0,5\cdot 1,00=10,50-0,50=10,00\\ \mathrm{g/L}.
  • t=36\\ \mathrm{h}:\\ S=0,50.
    X(36)=10,50-0,5\cdot 0,50=10,50-0,25=10,25\\ \mathrm{g/L}.
  • t=40\\ \mathrm{h}:\\ S=0,20.
    X(40)=10,50-0,5\cdot 0,20=10,50-0,10=10,40\\ \mathrm{g/L}.
Resumo (pares (t,X) que podem ser plotados em X versus t):
  • (0,\\\ 0,50), (4,\\\ 0,50), (10,\\\ 0,75), (15,\\\ 2,00), (22,\\\ 4,50), (26,\\\ 6,75), (30,\\\ 9,00), (34,\\\ 10,00), (36,\\\ 10,25), (40,\\\ 10,40).

Passo 4

Identificação e explicação das fases no gráfico X versus t:
  • Observação dos pontos: entre t=0 e t=4 a biomassa permanece em 0,50\\ \mathrm{g/L} (sem aumento). Esse comportamento caracteriza a fase de atraso (lag): as células estão se adaptando ao meio e não crescem em concentração mensurável. Portanto fase de lag em aproximadamente 0 a 4\\ \mathrm{h}.
  • A partir de t=4 os valores de X começam a aumentar: valores em t=10 (0,75), t=15 (2,00), t=22 (4,50), t=26 (6,75) e t=30 (9,00) mostram crescimento rápido e que, quando representado em escala logarítmica ( \ln X versus t), se aproxima de uma reta — sinal de crescimento exponencial. Assim a fase exponencial está aprox. entre t\approx 10\\ \mathrm{h} e t\approx 30\\ \mathrm{h} (pode-se considerar que o crescimento “começa” após a adaptação, e escolhemos o intervalo onde o \ln X se alinha bem).
  • Depois de t\approx 30\\ \mathrm{h} o aumento em X desacelera: entre t=30 e t=40 os incrementos são pequenos (de 9,00 para 10,40\\ \mathrm{g/L}). Isso indica aproximação à fase estacionária (substrato quase esgotado; crescimento muito reduzido) — podemos chamar de fase estacionária/declínio fraco na janela 30\!-\!40\\ \mathrm{h}.
Comentário curto de interpretação: a queda do substrato S (chegando a valores muito baixos após 30 h) explica a desaceleração do crescimento — sem substrato suficiente, a taxa específica cai e a curva de X aproxima-se de um platô.

Passo 5

Determinar a velocidade específica de crescimento \mu_x na fase exponencial.
Como calcular \mu_x:
  • Modelo na fase exponencial: \displaystyle X(t)=X(t_1)\,\mathrm{e}^{\mu_x (t-t_1)}. Tomando logaritmo natural obtemos uma relação linear:
\ln X(t)=\ln X(t_1) + \mu_x (t-t_1),
ou em forma geral \ln X(t)=\mu_x t + b. Assim \mu_x é a inclinação da reta em um gráfico \ln X versus t.
Escolha do intervalo exponencial:
  • Usei os pontos que visualmente caem na reta exponencial: t=10,15,22,26,30 (os dados intermediários antes da forte desaceleração por falta de substrato).
Cálculo prático (método dos mínimos quadrados, para obter boa estimativa da inclinação):
  • Dados usados (já calculei X antes); computei \ln X para cada ponto:
    • \ln X(10)=\ln(0,75)=-0,2876821
    • \ln X(15)=\ln(2,00)=0,6931472
    • \ln X(22)=\ln(4,50)=1,5040774
    • \ln X(26)=\ln(6,75)=1,9095425
    • \ln X(30)=\ln(9,00)=2,1972246
Aplicando a fórmula da inclinação por mínimos quadrados:
\mu_x = \frac{n\sum t_i\ln X_i - \bigl(\sum t_i\bigr)\bigl(\sum \ln X_i\bigr)} {n\sum t_i^2 - \bigl(\sum t_i\bigr)^2},
onde n=5 é o número de pontos usados.
Monte os somatórios (mostrando os resultados numéricos usados):
  • \sum t_i = 10+15+22+26+30 = 103.
  • \sum \ln X_i = -0,2876821 + 0,6931472 + 1,5040774 + 1,9095425 + 2,1972246 = 6,0163096.
  • \sum t_i\ln X_i = -2,876821 + 10,397208 + 33,089703 + 49,648105 + 65,916738 = 156,174933.
  • \sum t_i^2 = 10^2+15^2+22^2+26^2+30^2 = 2385.
Substituindo,
\mu_x = \frac{5\cdot 156,174933 - 103\cdot 6,0163096}{5\cdot 2385 - 103^2} = \frac{161,1947762}{1316}\approx 0,1225\\ \mathrm{h}^{-1}.
Interpretação e verificação rápida:
  • \mu_x\approx 0,1225\\ \mathrm{h}^{-1} é a taxa específica de crescimento durante a fase exponencial escolhida.
  • Tempo de duplicação (uma verificação útil): t_d=\dfrac{\ln 2}{\mu_x}=\dfrac{0,693147}{0,1225}\approx 5,66\\ \mathrm{h}. Isso ajuda a checar se o valor faz sentido com os aumentos observados (crescimento de 0,75 para 9,0 em 20 h é compatível com uma taxa desse porte).

Passo 6

Observações finais e incentivo: escolhemos o intervalo t=10\!-\!30\\ \mathrm{h} porque ali \ln X se aproxima bem de uma reta; se alguém preferir usar apenas dois pontos, obterá valores próximos, mas a regressão com vários pontos dá uma estimativa mais robusta. Você já tem todas as contas mostradas para refazer passo a passo em prova — respira, releia devagar cada passo e refaça as somas num caderno que fica mais fácil!

Resposta

a) Fases em X versus t: lag aproximadamente 0\!-\!4\\ \mathrm{h}; fase exponencial aproximadamente 10\!-\!30\\ \mathrm{h}; fase estacionária/declínio aproximada após 30\\ \mathrm{h}.
b) \mu_x \approx 0,1225\\ \mathrm{h}^{-1}.

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