Uma indústria química adota uma tecnologia descrita por
Os preços dos insumos são
(trabalho) e
(capital).
(a) Resolva o problema de minimização de custos e encontre as demandas condicionais de fatores.
(b) Derive a função custo
.
(c) Verifique se a função custo é homogênea de grau 1 em (
) e discuta a interpretação econômica.
(a) Resolva o problema de minimização de custos e encontre as demandas condicionais de fatores.
(b) Derive a função custo
(c) Verifique se a função custo é homogênea de grau 1 em (
Passo 1
O enunciado dá a função de produção e os preços dos insumos, e pede três coisas. Informações fornecidas:
- Função de produção:
. - Preço do trabalho:
. - Preço do capital:
.
O que o enunciado pede:
(a) Resolver o problema de minimização de custos e encontrar as demandas condicionais de fatores e
em função de
.
(b) Derivar a função custo .
(c) Verificar se é homogênea de grau
em
e comentar a interpretação econômica.
(a) Resolver o problema de minimização de custos e encontrar as demandas condicionais de fatores
(b) Derivar a função custo
(c) Verificar se
Obs.: para simplificar a notação durante a resolução, vou usar os símbolos
e
para os expoentes da forma Cobb–Douglas:
Não é feita nenhuma suposição adicional além do que o enunciado dá.
Passo 2
Montagem do problema de minimização de custos — ideia e equações iniciais.
- A indústria quer produzir uma quantidade fixa
ao menor custo possível. - O custo total é dado por
onde
e
são quantidades de capital e trabalho a escolher.
- Restrição de produção:
com e .
Forma padrão para resolver: usar multiplicador de Lagrange. A organização do problema é:
Vou explicar cada símbolo:
-
: quantidade de capital (variável de decisão). -
: quantidade de trabalho (variável de decisão). -
e multiplicam-se para formar o custo. -
: nível fixo de produção desejado. -
: multiplicador de Lagrange (interpretação: valor sombra da restrição de produção — quanto o custo mínimo aumenta se quisermos um pouco mais de ).
Passo 3
Construção do Lagrangiano e primeiras condições de otimalidade.
Defino o Lagrangiano
As condições de primeira ordem (derivadas parciais iguais a zero) são:
Explicando a regra usada: ao derivar
usa-se a regra de potência:
. O mesmo para
.
Passo 4
Eliminar
dividindo as duas primeiras condições — isso dá a condição de eficiência (MRTS = razão de preços).
Das duas primeiras equações temos
Dividindo a primeira pela segunda:
Reorganizando para obter a relação entre
e
:
Interpretação econômica simples: a tangência entre isoquanta e isocusto (ou a igualdade da Taxa Marginal de Substituição Técnica com a razão de preços) determina a proporção ótima
.
Passo 5
Expressar
em função de
e depois usar a restrição de produção para achar
(demanda condicional de capital).
Da relação anterior:
Substituo na restrição de produção
:
Como
, isso simplifica para
Logo isolando
:
Comentando: a presença de
(retornos constantes) simplificou muito a conta — em geral apareceria
.
Passo 6
Obter explicitamente a demanda condicional por trabalho
.
Usando
e a expressão para
acabada de obter:
Agrupando potências e fatores:
Como
(porque
), é mais simétrico escrever a fórmula na forma padrão (usada para Cobb–Douglas):
Resumo simbólico (fórmulas padrão para Cobb–Douglas com
):
Passo 7
Substituição dos valores numéricos de
e
para deixar as expressões mais explícitas.
Com
e
:
Observação prática: pode-se deixar as fórmulas em forma exponencial com frações ou calcular aproximado numérico de
e
se for necessário, mas para provas normalmente a forma simbólica é aceitável.
Passo 8
Derivar a função custo
substituindo as demandas condicionais na função de custo
. Há uma forma direta e elegante para Cobb–Douglas com retornos constantes.
Método direto (fórmula padrão): para
com
e parâmetro multiplicador
, a função custo mínima é
Posso demonstrar rapidamente substituindo
e
em
e simplificando; essa simplificação resulta exatamente na expressão acima. Essa forma é muito útil porque mostra dependência multiplicativa de
e
.
Substituindo
e
obtemos:
Interpretação rápida: custo mínimo é proporcional à quantidade
(por retornos constantes na produção) e cresce com potências dos preços conforme os expoentes da função de produção.
Passo 9
Verificação da homogeneidade de grau
em
e interpretação econômica.
Para verificar homogeneidade, calcule
para
:
Como
, resulta:
Portanto
é homogênea de grau
em
.
Interpretação econômica: se todos os preços de insumos aumentarem proporcionalmente por um fator
(por exemplo, se salários e custo de capital dobrarem,
), o custo mínimo para produzir a mesma
também aumenta exatamente por esse fator
. Isso faz sentido: com retornos constantes de escala, não há efeitos de escala que alterem a proporção de custos quando todos os preços mudam igualmente — o custo total escala linearmente com os preços.
Resposta
(a)
(b)
(c) Sim.
é homogênea de grau
em
porque
(isto decorre de
).