Uma indústria química adota uma tecnologia descrita por
q=K^{0,6} L^{0,4}
Os preços dos insumos são w (trabalho) e r (capital).
(a) Resolva o problema de minimização de custos e encontre as demandas condicionais de fatores.
(b) Derive a função custo C(w, r, q).
(c) Verifique se a função custo é homogênea de grau 1 em ( w, r ) e discuta a interpretação econômica.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção e os preços dos insumos, e pede três coisas. Informações fornecidas:
  • Função de produção: q=K^{0,6}L^{0,4}.
  • Preço do trabalho: w.
  • Preço do capital: r.
O que o enunciado pede:
(a) Resolver o problema de minimização de custos e encontrar as demandas condicionais de fatores K e L em função de (w,r,q).
(b) Derivar a função custo C(w,r,q).
(c) Verificar se C(w,r,q) é homogênea de grau 1 em (w,r) e comentar a interpretação econômica.
Obs.: para simplificar a notação durante a resolução, vou usar os símbolos \alpha e \beta para os expoentes da forma Cobb–Douglas:
\alpha=0,6,\qquad \beta=0,4.
Não é feita nenhuma suposição adicional além do que o enunciado dá.

Passo 2

Montagem do problema de minimização de custos — ideia e equações iniciais.
  • A indústria quer produzir uma quantidade fixa \;q\; ao menor custo possível.
  • O custo total é dado por
C=rK+wL,
onde K e L são quantidades de capital e trabalho a escolher.
  • Restrição de produção: \;q=K^{\alpha}L^{\beta} com \alpha=0,6 e \beta=0,4.
Forma padrão para resolver: usar multiplicador de Lagrange. A organização do problema é:
\min_{K,L}\; rK+wL \quad\text{s.a.}\quad K^{\alpha}L^{\beta}=q.
Vou explicar cada símbolo:
  • K: quantidade de capital (variável de decisão).
  • L: quantidade de trabalho (variável de decisão).
  • r,K e w,L multiplicam-se para formar o custo.
  • q: nível fixo de produção desejado.
  • \lambda: multiplicador de Lagrange (interpretação: valor sombra da restrição de produção — quanto o custo mínimo aumenta se quisermos um pouco mais de q).

Passo 3

Construção do Lagrangiano e primeiras condições de otimalidade.
Defino o Lagrangiano
\mathcal{L}(K,L,\lambda)=rK+wL+\lambda\big(q-K^{\alpha}L^{\beta}\big).
As condições de primeira ordem (derivadas parciais iguais a zero) são:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K}=r-\lambda\,\alpha K^{\alpha-1}L^{\beta}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L}=w-\lambda\,\beta K^{\alpha}L^{\beta-1}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=q-K^{\alpha}L^{\beta}=0.
Explicando a regra usada: ao derivar K^{\alpha} usa-se a regra de potência: \dfrac{d}{dK}K^{\alpha}=\alpha K^{\alpha-1}. O mesmo para L^{\beta}.

Passo 4

Eliminar \lambda dividindo as duas primeiras condições — isso dá a condição de eficiência (MRTS = razão de preços).
Das duas primeiras equações temos
r=\lambda\,\alpha K^{\alpha-1}L^{\beta}, \qquad w=\lambda\,\beta K^{\alpha}L^{\beta-1}.
Dividindo a primeira pela segunda:
\frac{r}{w}=\frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{K^{\alpha-1}L^{\beta}}{K^{\alpha}L^{\beta-1}} =\frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{L}{K}.
Reorganizando para obter a relação entre L e K:
\frac{L}{K}=\frac{\beta}{\alpha}\cdot\frac{r}{w}.
Interpretação econômica simples: a tangência entre isoquanta e isocusto (ou a igualdade da Taxa Marginal de Substituição Técnica com a razão de preços) determina a proporção ótima L/K.

Passo 5

Expressar L em função de K e depois usar a restrição de produção para achar K (demanda condicional de capital).
Da relação anterior:
L = K\cdot\frac{\beta}{\alpha}\cdot\frac{r}{w}.
Substituo na restrição de produção \;q=K^{\alpha}L^{\beta}:
q = K^{\alpha}\Big(K\cdot\frac{\beta}{\alpha}\cdot\frac{r}{w}\Big)^{\beta} =K^{\alpha+\beta}\Big(\frac{\beta}{\alpha}\cdot\frac{r}{w}\Big)^{\beta}.
Como \alpha+\beta=0,6+0,4=1, isso simplifica para
q = K\cdot\Big(\frac{\beta}{\alpha}\cdot\frac{r}{w}\Big)^{\beta}.
Logo isolando K:
K^{*}=q\cdot\Big(\frac{\beta}{\alpha}\cdot\frac{r}{w}\Big)^{-\beta} = q\cdot\Big(\frac{\alpha}{\beta}\Big)^{\beta}\Big(\frac{w}{r}\Big)^{\beta}.
Comentando: a presença de \alpha+\beta=1 (retornos constantes) simplificou muito a conta — em geral apareceria K^{\alpha+\beta}.

Passo 6

Obter explicitamente a demanda condicional por trabalho L^{*}.
Usando L = K\cdot\dfrac{\beta}{\alpha}\cdot\dfrac{r}{w} e a expressão para K^{*} acabada de obter:
L^{*}=K^{*}\cdot\frac{\beta}{\alpha}\cdot\frac{r}{w} = q\cdot\Big(\frac{\alpha}{\beta}\Big)^{\beta}\Big(\frac{w}{r}\Big)^{\beta}\cdot\frac{\beta}{\alpha}\cdot\frac{r}{w}.
Agrupando potências e fatores:
L^{*}= q\cdot\Big(\frac{\alpha}{\beta}\Big)^{\beta-1}\Big(\frac{w}{r}\Big)^{\beta-1}.
Como \beta-1=-\alpha (porque \alpha+\beta=1), é mais simétrico escrever a fórmula na forma padrão (usada para Cobb–Douglas):
L^{*}= q\cdot\Big(\frac{\beta}{\alpha}\Big)^{\alpha}\Big(\frac{r}{w}\Big)^{\alpha}.
Resumo simbólico (fórmulas padrão para Cobb–Douglas com \alpha+\beta=1):
K^{*}(w,r,q)= q\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{\beta}\left(\frac{w}{r}\right)^{\beta}, \qquad L^{*}(w,r,q)= q\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{\alpha}\left(\frac{r}{w}\right)^{\alpha}.

Passo 7

Substituição dos valores numéricos de \alpha e \beta para deixar as expressões mais explícitas.
Com \alpha=0,6 e \beta=0,4:
K^{*}(w,r,q)= q\left(\frac{0,6}{0,4}\right)^{0,4}\left(\frac{w}{r}\right)^{0,4} = q\left(\frac{3}{2}\right)^{0,4}\left(\frac{w}{r}\right)^{0,4},
L^{*}(w,r,q)= q\left(\frac{0,4}{0,6}\right)^{0,6}\left(\frac{r}{w}\right)^{0,6} = q\left(\frac{2}{3}\right)^{0,6}\left(\frac{r}{w}\right)^{0,6}.
Observação prática: pode-se deixar as fórmulas em forma exponencial com frações ou calcular aproximado numérico de (3/2)^{0,4} e (2/3)^{0,6} se for necessário, mas para provas normalmente a forma simbólica é aceitável.

Passo 8

Derivar a função custo C(w,r,q) substituindo as demandas condicionais na função de custo C=rK+wL. Há uma forma direta e elegante para Cobb–Douglas com retornos constantes.
Método direto (fórmula padrão): para q=K^{\alpha}L^{\beta} com \alpha+\beta=1 e parâmetro multiplicador 1, a função custo mínima é
C(w,r,q)=q\cdot\frac{r^{\alpha}w^{\beta}}{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}}.
Posso demonstrar rapidamente substituindo K^{*} e L^{*} em C=rK+wL e simplificando; essa simplificação resulta exatamente na expressão acima. Essa forma é muito útil porque mostra dependência multiplicativa de r e w.
Substituindo \alpha=0,6 e \beta=0,4 obtemos:
C(w,r,q)= q\cdot\frac{r^{0,6}w^{0,4}}{0,6^{0,6}\,0,4^{0,4}}.
Interpretação rápida: custo mínimo é proporcional à quantidade q (por retornos constantes na produção) e cresce com potências dos preços conforme os expoentes da função de produção.

Passo 9

Verificação da homogeneidade de grau 1 em (w,r) e interpretação econômica.
Para verificar homogeneidade, calcule C(tw,tr,q) para t>0:
C(tw,tr,q)= q\cdot\frac{(tr)^{\alpha}(tw)^{\beta}}{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}} = q\cdot t^{\alpha+\beta}\frac{r^{\alpha}w^{\beta}}{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}}.
Como \alpha+\beta=1, resulta:
C(tw,tr,q)=t\cdot q\cdot\frac{r^{\alpha}w^{\beta}}{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}} = t\,C(w,r,q).
Portanto C é homogênea de grau 1 em (w,r).
Interpretação econômica: se todos os preços de insumos aumentarem proporcionalmente por um fator t (por exemplo, se salários e custo de capital dobrarem, t=2), o custo mínimo para produzir a mesma q também aumenta exatamente por esse fator t. Isso faz sentido: com retornos constantes de escala, não há efeitos de escala que alterem a proporção de custos quando todos os preços mudam igualmente — o custo total escala linearmente com os preços.

Resposta

(a) K^{*}(w,r,q)= q\left(\dfrac{0,6}{0,4}\right)^{0,4}\left(\dfrac{w}{r}\right)^{0,4},\qquad L^{*}(w,r,q)= q\left(\dfrac{0,4}{0,6}\right)^{0,6}\left(\dfrac{r}{w}\right)^{0,6}.
(b) C(w,r,q)= q\cdot\dfrac{r^{0,6}w^{0,4}}{0,6^{0,6}\,0,4^{0,4}}.
(c) Sim. C(w,r,q) é homogênea de grau 1 em (w,r) porque C(tw,tr,q)=t\,C(w,r,q) (isto decorre de 0,6+0,4=1).

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