Uma firma do setor têxtil tem função de custo total
onde
é a quantidade de rolos produzidos por dia.
(a) Calcule o custo médio e trace seu comportamento para diferentes valores de
.
(b) Verifique em que intervalos há economias ou deseconomias de escala.
(c) Discuta como o resultado pode influenciar a decisão de aumentar ou reduzir a escala de produção.
(a) Calcule o custo médio e trace seu comportamento para diferentes valores de
(b) Verifique em que intervalos há economias ou deseconomias de escala.
(c) Discuta como o resultado pode influenciar a decisão de aumentar ou reduzir a escala de produção.
Passo 1
O enunciado dá a função de custo total da firma
onde
é a quantidade de rolos produzidos por dia. As perguntas são:
- (a) Calcular o custo médio e traçar o comportamento para diferentes valores de
. - (b) Verificar em que intervalos há economias ou deseconomias de escala.
- (c) Discutir como o resultado pode influenciar a decisão de aumentar ou reduzir a escala de produção.
Informações relevantes fornecidas:
- Custo fixo
(não depende de ). - Custo variável dado por
(depende de ). - Domínio óbvio:
(produção zero faz indefinido).
Passo 2
Definir e calcular o custo médio. Conceito: o custo médio (ou custo unitário) é o custo total dividido pela quantidade produzida; ele mostra quanto, em média, custa produzir uma unidade quando os custos fixos são rateados entre as unidades produzidas.
Calculemos:
Aqui:
-
é a parte do custo médio que vem do custo fixo rateado por unidade (diminui quando aumenta). -
é a parte do custo médio que vem do custo variável por unidade (aumenta com neste caso porque o custo variável é ).
Comentário sobre comportamento bruto: para
muito pequeno,
domina e
é muito grande; para
grande, o termo
domina e
cresce com
. Isso sugere que
tem um formato em “U” — primeiro decresce, atinge um mínimo, depois cresce.
Passo 3
Encontrar o ponto em que o custo médio atinge mínimo (análise usando derivada). Conceito rápido: derivada de
indica se
está subindo ou descendo; ponto crítico com segunda derivada positiva é mínimo.
Derivada de
:
Resolver
:
Portanto
Segunda derivada:
logo
é mínimo global do
no domínio
.
Calcular o custo médio mínimo:
Notando que
implica
, temos
Exemplos numéricos para intuir o comportamento:
-
. -
. -
(próximo do mínimo). -
.
Esses números confirmam quecai até cerca de e depois sobe — formato em “U”.
Passo 4
Introduzir o custo marginal e sua relação com o custo médio (ferramenta útil na prova). Conceito: o custo marginal
é a derivada do custo total; representa o custo de produzir uma unidade adicional. Propriedade chave: quando
, o
está diminuindo; quando
, o
está aumentando; o ponto onde
coincide com o mínimo do
.
Calcule
:
Igualando
a
para encontrar ponto de mudança:
mesmo resultado
. Assim:
- Para
, tem-se ⇒ decresce (economias de escala). - Para
, tem-se ⇒ cresce (deseconomias de escala).
Exemplos rápidos: -
e → → decresce. -
e → → cresce.
Passo 5
Responder especificamente (b) com intervalos e interpretação clara. Definições práticas:
- Economias de escala (no sentido de custo médio): intervalo em que aumentar
reduz . - Deseconomias de escala: intervalo em que aumentar
aumenta .
Com base na análise:
- Há economias de escala para
- Há deseconomias de escala para
- No ponto
o é mínimo; esse ponto é o limite entre economias e deseconomias.
Passo 6
Discutir (c): implicações para decisão sobre escala de produção (explicação prática, sem jargões).
- Se a firma estiver produzindo em
menor que , aumentar a produção tende a reduzir o custo médio: produzir mais ajuda a espalhar o custo fixo e reduzir até o ponto . Esse é um argumento a favor de expandir a escala, desde que haja mercado (demanda) para absorver a produção adicional e que o preço de venda permita lucro. - Se a firma estiver produzindo em
maior que , aumentar ainda mais a produção aumenta o : a firma enfrenta deseconomias de escala e, em termos de custo médio, reduzir a produção até reduz o custo por unidade. - Observação importante de microeconomia prática: a decisão de produção ótima não é baseada apenas em minimizar
. O critério de lucro é produzir onde a receita marginal iguala o custo marginal . Porém, reduzir (quando possível) melhora competitividade e margem de lucro quando o preço de mercado estiver dado. Em termos simples: - Se o preço de mercado
for tal que , há potencial para lucro e buscar próximo de é atraente para reduzir custos médios. - Se
na escala atual, pode ser necessário reduzir escala ou reavaliar custos (ou sair do mercado no longo prazo).
- Se o preço de mercado
- Em resumo: usar o ponto
como referência de eficiência de custo. Expandir produção é vantajoso enquanto estiver na região de economias de escala; além disso, sempre considerar demanda e preço na decisão final.
Resposta
(a)
. O
decresce para
, atinge mínimo
em
, e cresce para
.
(b) Economias de escala para . Deseconomias de escala para
. (Em
ocorre o mínimo do
.)
(c) Se a firma produz abaixo de é vantajoso aumentar a produção para reduzir o custo médio; se produz acima de
aumentar a produção eleva o custo médio, então reduzir até perto de
pode melhorar eficiência. A decisão final deve considerar também demanda e a condição de lucro (
) e se o preço de mercado cobre o
.
(b) Economias de escala para
(c) Se a firma produz abaixo de