Uma firma do setor têxtil tem função de custo total
C(q)=50+q^{2}
onde q é a quantidade de rolos produzidos por dia.
(a) Calcule o custo médio e trace seu comportamento para diferentes valores de q.
(b) Verifique em que intervalos há economias ou deseconomias de escala.
(c) Discuta como o resultado pode influenciar a decisão de aumentar ou reduzir a escala de produção.

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total da firma
C(q)=50+q^{2},
onde q é a quantidade de rolos produzidos por dia. As perguntas são:
  • (a) Calcular o custo médio e traçar o comportamento para diferentes valores de q.
  • (b) Verificar em que intervalos há economias ou deseconomias de escala.
  • (c) Discutir como o resultado pode influenciar a decisão de aumentar ou reduzir a escala de produção.
Informações relevantes fornecidas:
  • Custo fixo =50 (não depende de q).
  • Custo variável dado por q^{2} (depende de q).
  • Domínio óbvio: q>0 (produção zero faz C(q)/q indefinido).

Passo 2

Definir e calcular o custo médio. Conceito: o custo médio (ou custo unitário) é o custo total dividido pela quantidade produzida; ele mostra quanto, em média, custa produzir uma unidade quando os custos fixos são rateados entre as unidades produzidas.
Calculemos:
AC(q)=\frac{C(q)}{q}=\frac{50+q^{2}}{q}=\frac{50}{q}+q.
Aqui:
  • \frac{50}{q} é a parte do custo médio que vem do custo fixo rateado por unidade (diminui quando q aumenta).
  • q é a parte do custo médio que vem do custo variável por unidade (aumenta com q neste caso porque o custo variável é q^{2}).
Comentário sobre comportamento bruto: para q muito pequeno, \frac{50}{q} domina e AC(q) é muito grande; para q grande, o termo q domina e AC(q) cresce com q. Isso sugere que AC(q) tem um formato em “U” — primeiro decresce, atinge um mínimo, depois cresce.

Passo 3

Encontrar o ponto em que o custo médio atinge mínimo (análise usando derivada). Conceito rápido: derivada de AC(q) indica se AC está subindo ou descendo; ponto crítico com segunda derivada positiva é mínimo.
Derivada de AC(q):
AC'(q)=\frac{d}{dq}\!\left(\frac{50}{q}+q\right)=-\frac{50}{q^{2}}+1.
Resolver AC'(q)=0:
-\frac{50}{q^{2}}+1=0 \quad\Rightarrow\quad 1=\frac{50}{q^{2}} \quad\Rightarrow\quad q^{2}=50.
Portanto
q^{*}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}07.
Segunda derivada:
AC''(q)=\frac{100}{q^{3}}>0\quad\text{para }q>0,
logo q^{*} é mínimo global do AC no domínio q>0.
Calcular o custo médio mínimo:
AC(q^{*})=\frac{50}{q^{*}}+q^{*}.
Notando que q^{*}=\sqrt{50} implica \frac{50}{q^{*}}=\frac{50}{\sqrt{50}}=\sqrt{50}=q^{*}, temos
AC(q^{*})=q^{*}+q^{*}=2q^{*}=2\sqrt{50}=10\sqrt{2}\approx 14{,}14.
Exemplos numéricos para intuir o comportamento:
  • q=1:\\ AC(1)=50+1=51.
  • q=5:\\ AC(5)=\frac{50}{5}+5=10+5=15.
  • q=7:\\ AC(7)=\frac{50}{7}+7\approx7{,}1429+7\approx14{,}143 (próximo do mínimo).
  • q=10:\\ AC(10)=\frac{50}{10}+10=5+10=15.
    Esses números confirmam que AC cai até cerca de q\approx7{,}07 e depois sobe — formato em “U”.

Passo 4

Introduzir o custo marginal e sua relação com o custo médio (ferramenta útil na prova). Conceito: o custo marginal MC(q) é a derivada do custo total; representa o custo de produzir uma unidade adicional. Propriedade chave: quando MC<AC, o AC está diminuindo; quando MC>AC, o AC está aumentando; o ponto onde MC=AC coincide com o mínimo do AC.
Calcule MC(q):
MC(q)=C'(q)=\frac{d}{dq}(50+q^{2})=2q.
Igualando MC a AC para encontrar ponto de mudança:
2q=\frac{50}{q}+q \quad\Rightarrow\quad q^{2}=50,
mesmo resultado q^{*}=\sqrt{50}. Assim:
  • Para q<\sqrt{50}, tem-se MC(q)=2q<AC(q) AC decresce (economias de escala).
  • Para q>\sqrt{50}, tem-se MC(q)=2q>AC(q) AC cresce (deseconomias de escala).
    Exemplos rápidos:
  • q=5:\\ MC=10 e AC(5)=15 MC<AC AC decresce.
  • q=10:\\ MC=20 e AC(10)=15 MC>AC AC cresce.

Passo 5

Responder especificamente (b) com intervalos e interpretação clara. Definições práticas:
  • Economias de escala (no sentido de custo médio): intervalo em que aumentar q reduz AC(q).
  • Deseconomias de escala: intervalo em que aumentar q aumenta AC(q).
Com base na análise:
  • Há economias de escala para
0<q<\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}07.
  • Há deseconomias de escala para
q>\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}07.
  • No ponto q=\sqrt{50} o AC é mínimo; esse ponto é o limite entre economias e deseconomias.

Passo 6

Discutir (c): implicações para decisão sobre escala de produção (explicação prática, sem jargões).
  • Se a firma estiver produzindo em q menor que q^{*}=\sqrt{50}, aumentar a produção tende a reduzir o custo médio: produzir mais ajuda a espalhar o custo fixo e reduzir AC até o ponto q^{*}. Esse é um argumento a favor de expandir a escala, desde que haja mercado (demanda) para absorver a produção adicional e que o preço de venda permita lucro.
  • Se a firma estiver produzindo em q maior que q^{*}, aumentar ainda mais a produção aumenta o AC: a firma enfrenta deseconomias de escala e, em termos de custo médio, reduzir a produção até q^{*} reduz o custo por unidade.
  • Observação importante de microeconomia prática: a decisão de produção ótima não é baseada apenas em minimizar AC. O critério de lucro é produzir onde a receita marginal MR iguala o custo marginal MC. Porém, reduzir AC (quando possível) melhora competitividade e margem de lucro quando o preço de mercado estiver dado. Em termos simples:
    • Se o preço de mercado p for tal que p>AC(q^{*}), há potencial para lucro e buscar q próximo de q^{*} é atraente para reduzir custos médios.
    • Se p<AC(q) na escala atual, pode ser necessário reduzir escala ou reavaliar custos (ou sair do mercado no longo prazo).
  • Em resumo: usar o ponto q^{*}=5\sqrt{2} como referência de eficiência de custo. Expandir produção é vantajoso enquanto estiver na região de economias de escala; além disso, sempre considerar demanda e preço na decisão final.

Resposta

(a) AC(q)=\dfrac{50+q^{2}}{q}=\dfrac{50}{q}+q. O AC decresce para q<\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx7{,}07, atinge mínimo AC_{\min}=10\sqrt{2}\approx14{,}14 em q=5\sqrt{2}, e cresce para q>\sqrt{50}.
(b) Economias de escala para 0<q<\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx7{,}07. Deseconomias de escala para q>\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx7{,}07. (Em q=\sqrt{50} ocorre o mínimo do AC.)
(c) Se a firma produz abaixo de q^{*}=5\sqrt{2} é vantajoso aumentar a produção para reduzir o custo médio; se produz acima de q^{*} aumentar a produção eleva o custo médio, então reduzir até perto de q^{*} pode melhorar eficiência. A decisão final deve considerar também demanda e a condição de lucro ( MR=MC) e se o preço de mercado cobre o AC.

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