Um indutor elementar do tipo solenoide possui 400 espiras e um núcleo de um material magnético cujas dimensões são: área igual a 25 centímetros quadrados e comprimento igual a 12 centímetros. Verificou-se que ao se estabelecer um fluxo magnético no núcleo de 90 \times 10^{-4} Webers a corrente induzida que circula pela bobina é igual a 0,2 \mathrm{~A}. Sabendo-se que a permeabilidade magnética do vácuo é \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} Tesla-metro por Ampère, determine:
  • A permeabilidade magnética relativa do núcleo do indutor;
  • O valor da corrente, em mili-Ampères, no instante t=6,25 \times 10^{-3} segundos se a tensão no indutor for expressa pela equação v(t)=2 \cos (377 t) Volts. Considere que o indutor está desenergizado no instante t=0, ou seja, i(0)=0 Ampère.
    Qual é o valor da corrente i, em mili-Ampères, no instante t=6,25 \times 10^{-3} segundos se a tensão no indutor for expressa pela equação v(t)=2 \cos (377 t) Volts. Considere que o indutor está desenergizado no instante t=0, ou seja, i(0)=0 Ampère.
    a) i=146,2 \mathrm{~mA}
    b) i=83,4 \mathrm{~mA}
    c) i=215,3 \mathrm{~mA}
    d) i=12,2 \mathrm{~mA}
    e) i=552,8 \mathrm{~mA}

Passo 1

O enunciado dá um solenoide com 400 espiras, em que ao estabelecer um fluxo magnético de \varphi=90\times10^{-4} Wb circula uma corrente de i=0,2 A. Pede-se a corrente no instante t=6{,}25\times10^{-3} s para a tensão
v(t)=2\cos(377t)
com condição inicial i(0)=0. Vamos primeiro encontrar a indutância L a partir da relação entre fluxo e corrente e depois integrar a equação v=L\,\tfrac{di}{dt} para achar i(t).

Passo 2

Assumindo que o fluxo varia linearmente com a corrente no indutor, vale
\varphi = L\,i
e, portanto,
L = \frac{\varphi}{i} = \frac{90\times10^{-4}}{0,2} =4,5\times10^{-2}\,\text{H}.

Passo 3

Da lei do indutor v=L\,\frac{di}{dt} temos
\frac{di}{dt}=\frac{v(t)}{L} \quad\Longrightarrow\quad i(t)=\int_{0}^{t}\frac{v(\tau)}{L}\,d\tau
com i(0)=0. Substituindo v(\tau)=2\cos(377\tau) e L=0{,}045 H:
i(t) =\frac{1}{L}\int_{0}^{t}2\cos(377\tau)\,d\tau =\frac{2}{L}\;\frac{\sin(377t)}{377}.

Passo 4

Para t=6{,}25\times10^{-3} s calculamos
377\,t=377\cdot6{,}25\times10^{-3}=2{,}356\;\text{rad},
\sin(2{,}356)=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071,
então
i\bigl(6{,}25\times10^{-3}\bigr) =\frac{2}{377\cdot0{,}045}\;0{,}7071 \approx0{,}0834\;\text{A} =83{,}4\;\text{mA}.

Resposta

b) i=83{,}4\;\mathrm{mA}

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