( 2,5 pontos) Seja um sistema que acumule uma certa quantidade de carga
, e calculando a energia total:
prove que, para o campo e potencial elétricos ( E e V , respectivamente) de uma carga pontual, a energia U será :
Dica: use
(Volume infinitesimal de uma esfera)
Passo 1
O enunciado nos dá que, em geral, ao montarmos uma carga total
num sistema, o trabalho (energia) acumulado é
onde
é o potencial criado pelas cargas já depositadas quando há uma carga
.
Queremos mostrar que, no caso do campo e potencial de uma carga pontual, essa mesma energia pode ser escrita como
Queremos mostrar que, no caso do campo e potencial de uma carga pontual, essa mesma energia pode ser escrita como
Para isso vamos:
- reescrever
como integral sobre densidade volumétrica; - usar a Lei de Gauss
; - aplicar identidade vetorial e Teorema da Divergência;
- argumentar que o termo de superfície em infinito é zero.
Passo 2
Primeiro, note que o elemento de carga é
, onde
é a densidade volumétrica final de carga. Além disso, ao acumularmos carga de zero até
, cada pedacinho traz um trabalho infinitesimal
. A conta total dá
Mas como
não depende de
dentro da integração interna, isso equivale a
O fator
aparece porque, ao integrar de
a
, consideramos que cada carga interage com as anteriores sem duplicar o trabalho.
Passo 3
Agora usamos a Lei de Gauss local, em forma diferencial,
Substituindo em
:
Passo 4
Aplicamos a identidade vetorial
Como
(definição de campo elétrico a partir do potencial), temos
Logo
Passo 5
Pelo Teorema da Divergência,
Em
, para uma carga pontual
,
e
, e a área
. Assim
Logo esse integral de superfície se anula.
Passo 6
Fica então
o que era para ser demonstrado.