Um indutor com núcleo de ar tem uma indutância total de 4,7 \mathrm{mH}.
a. qual a indutância se a única mudança é um aumento do número de espiras por um fator de 3 ?

Passo 1

O enunciado dá uma indutância inicial e pede a indutância depois de multiplicar o número de espiras por 3. Informações relevantes:
  • Indutância inicial: L_0 = 4,7\\ \mathrm{mH}.
  • A única mudança é que o número de espiras N aumenta por um fator 3, isto é N' = 3N.
  • Pergunta: qual é a nova indutância L'?

Passo 2

A fórmula que relaciona a indutância de uma bobina (solenoide aproximado) com suas características é
L = \mu_0 \mu_r \frac{N^2 A}{\ell},
onde:
  • L é a indutância (em henry, \mathrm{H});
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo (constante);
  • \mu_r é a permeabilidade relativa do núcleo (adimensional);
  • N é o número de espiras;
  • A é a área da seção transversal do enrolamento (em \mathrm{m^2});
  • \ell é o comprimento médio do enrolamento (em \mathrm{m}).
Explicação didática: a indutância depende de como o campo magnético gerado pelas espiras se soma. Cada espira contribui, e as contribuições se somam de forma que a dependência em N é quadrática: L cresce com N^2. Como o núcleo é de ar, vale \mu_r=1.

Passo 3

Se somente N muda e \mu_0,\mu_r,A,\ell permanecem iguais, então L é proporcional a N^2. Ou seja, se N' = kN então
L' = \mu_0\mu_r\frac{(kN)^2 A}{\ell} = k^2\left(\mu_0\mu_r\frac{N^2 A}{\ell}\right) = k^2 L_0.
No nosso caso k=3, logo
L' = 3^2 L_0 = 9 L_0.

Passo 4

Agora aplicamos numericamente:
L' = 9 \times 4,7\\ \mathrm{mH}.
Fazendo a multiplicação:
9 \times 4,7 = 42,3,
portanto
L' = 42,3\\ \mathrm{mH}.
Como checagem em unidades do SI:
L_0 = 4,7\times10^{-3}\\ \mathrm{H}\quad\Rightarrow\quad L' = 9\times 4,7\times10^{-3}\\ \mathrm{H} = 42,3\times10^{-3}\\ \mathrm{H} = 0,0423\\ \mathrm{H},
o que corresponde a 42,3\\ \mathrm{mH}.

Passo 5

Resumo e dica para a prova: sempre que só mudar o número de espiras e manter geometria e núcleo, multiplica-se a indutância pelo quadrado do fator de mudança em N. Aqui, fator 3 em N implica fator 9 em L.

Resposta

42,3\\ \mathrm{mH}

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