Informe se os seguintes sinais são periódicos. Caso algum seja, encontre os períodos fundamentais T.
f(x, y)=\operatorname{sen}[2 \pi(x+y)]

Passo 1

O enunciado pede para eu dizer se a função f(x,y)=\operatorname{sen}[2\pi(x+y)] é periódica e, se for, encontrar os períodos fundamentais T. Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\operatorname{sen}\bigl(2\pi(x+y)\bigr).
  • Não há outras restrições (domínio é todo \mathbb{R}^2, presumidamente).
    As perguntas claras: (1) f é periódica? (2) Se sim, quais são os períodos fundamentais T (pelo menos ao longo das variáveis x e y, e descrever os vetores período)?

Passo 2

Entender o que significa “periódica” aqui (aula rápida e prática).
  • Para função de uma variável g(t), dizemos que g é periódica com período T>0 se, para todo t, g(t+T)=g(t). O período fundamental é o menor T>0 que satisfaz isso.
  • Para função de duas variáveis f(x,y) podemos falar de duas coisas úteis:
    1. período em x (fixando y): existe T_x>0 tal que f(x+T_x,y)=f(x,y) para todo x,y;
    2. período em y (fixando x): existe T_y>0 tal que f(x,y+T_y)=f(x,y) para todo x,y;
    3. período vetorial: um vetor (a,b)\neq(0,0) é período se f(x+a,y+b)=f(x,y) para todo x,y.
      Vou usar essas definições para analisar f.

Passo 3

Observação útil: a função depende só da soma x+y. Defino a função unidimensional
g(s)=\operatorname{sen}(2\pi s),
onde s=x+y. Então
f(x,y)=g(x+y).
Isso simplifica bastante: periodicidade de f está ligada à periodicidade de g.

Passo 4

Analisar g(s)=\operatorname{sen}(2\pi s) (a parte que mais aparece em prova).
  • Sabemos que \sin tem período 2\pi, isto é, \sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta) para todo \theta.
  • Aqui o argumento é 2\pi s. Se eu aumentar s em 1 então o argumento aumenta em 2\pi: 2\pi(s+1)=2\pi s + 2\pi.Logo g(s+1)=\operatorname{sen}\bigl(2\pi(s+1)\bigr)=\operatorname{sen}\bigl(2\pi s + 2\pi\bigr)=\operatorname{sen}(2\pi s)=g(s).
  • Assim g é periódica com período 1. É o menor período positivo? Sim, porque qualquer T>0 que satisfaça g(s+T)=g(s) para todo s precisa fazer 2\pi T ser múltiplo de 2\pi, ou seja, T\in\mathbb{Z}. O menor inteiro positivo é 1. Portanto o período fundamental de g é 1.

Passo 5

Traduzindo isso para f(x,y)=g(x+y):
  • Se eu alterar apenas x de x para x+1 mantendo y fixo, a soma x+y aumenta em 1, então f(x+1,y)=g((x+1)+y)=g(x+y+1)=g(x+y)=f(x,y).Portanto f é periódica em x com período T_x=1. Esse é o menor período positivo em x, porque se existisse 0<T_x<1 tal que f(x+T_x,y)=f(x,y) para todo x,y, então g(s+T_x)=g(s) para todo s com T_x<1, o que contradiz que o período fundamental de g é 1.
  • Analogamente, alterando apenas y: f(x,y+1)=g(x+(y+1))=g(x+y+1)=g(x+y)=f(x,y),então f é periódica em y com período T_y=1, e 1 é o menor período positivo em y.

Passo 6

Agora caracterizo todos os vetores período (a,b).
  • f(x+a,y+b)=g(x+y+a+b). Para que isso iguale g(x+y) para todo x,y é necessário e suficiente que g(s+a+b)=g(s) para todo s, ou seja, que a+b seja um período de g.
  • Como os períodos de g são exatamente os inteiros, a condição é a+b\in\mathbb{Z}.
  • Portanto o conjunto de vetores-período é \{(a,b)\in\mathbb{R}^2 \mid a+b\in\mathbb{Z}\}.Exemplo: (1,0) e (0,1) são períodos (soma 1); (\tfrac12,\tfrac12) é período (soma 1); (\varepsilon,-\varepsilon) é período (soma 0) para qualquer \varepsilon.

Passo 7

Discussão sobre “período fundamental” em sentido vetorial (ponto importante para prova).
  • Em funções de uma variável existe um menor período positivo. Em duas variáveis, não faz sentido falar sempre em “um” único vetor período fundamental que gere todos os outros por múltiplos inteiros, porque aqui o conjunto de períodos não é um subgrupo cíclico gerado por um vetor.
  • Nota prática: existem vetores-período arbitrariamente pequenos, por exemplo (\varepsilon,-\varepsilon) com \varepsilon pequeno tem soma 0\in\mathbb{Z}, logo é período; assim não existe um único menor vetor-período em norma. Por isso a descrição correta é a do passo anterior: todos os vetores com a+b\in\mathbb{Z}.
  • Porém, em termos de variações ao longo das coordenadas x e y isoladamente, os períodos fundamentais são T_x=1 e T_y=1.

Passo 8

Dica prática para prova (como checar rápido):
  • Se alguém pedir “é periódica?” e não especificar, diga: depende do que querem: em x e y sim, com T_x=T_y=1. Para vetores de deslocamento a condição é a+b\in\mathbb{Z}. Para provar isso, basta mostrar que a função depende só de x+y e usar que \sin(2\pi s) tem período 1.

Resposta

f é periódica em x com período fundamental T_x=1.
f é periódica em y com período fundamental T_y=1.
Conjunto de vetores-período: \{(a,b)\in\mathbb{R}^2 \mid a+b\in\mathbb{Z}\}.

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