Informe se os seguintes sinais são periódicos. Caso algum seja, encontre os períodos fundamentais T.
x_{1}(t)=\cos (t)

Passo 1

O enunciado dá o sinal x_{1}(t)=\cos(t) e pede duas coisas: decidir se esse sinal é periódico e, caso seja, encontrar o período fundamental T. Informação fornecida: a expressão analítica do sinal é \cos(t). Essas são as perguntas que vamos responder.

Passo 2

Definição de periódico (útil para a prova): um sinal x(t) é periódico se existe um número real T>0 tal que
x(t+T)=x(t)\quad\text{para todo }t.
O período fundamental é o menor T>0 que satisfaz essa igualdade. Vou usar essa definição aplicada ao nosso x_{1}(t).

Passo 3

Aplicando a condição de periodicidade ao nosso sinal, precisamos de T>0 tal que
\cos(t+T)=\cos(t)\quad\text{para todo }t.
Para manipular essa igualdade usamos a fórmula de soma de ângulos do cosseno, que diz que para quaisquer ângulos a e b
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Usando a=t e b=T obtemos
\cos(t+T)=\cos t\cos T-\sin t\sin T.

Passo 4

Substituindo na condição de periodicidade temos, para todo t,
\cos t\cos T-\sin t\sin T=\cos t.
Reagrupando,
(\cos T-1)\cos t-(\sin T)\sin t=0\quad\text{para todo }t.
Agora, para que essa combinação linear de \cos t e \sin t seja identicamente zero para todo t, os coeficientes devem ser zero. Uma forma simples de ver isso sem falar de independência linear é avaliar a igualdade em dois valores de t.

Passo 5

Avalio em t=0:
(\cos T-1)\cos 0-(\sin T)\sin 0=0 \implies \cos T-1=0 \implies \cos T=1.
Avalio em t=\tfrac{\pi}{2}:
(\cos T-1)\cos\frac{\pi}{2}-(\sin T)\sin\frac{\pi}{2}=0 \implies -\sin T=0 \implies \sin T=0.
As duas condições simultâneas \cos T=1 e \sin T=0 implicam que T é um múltiplo inteiro de 2\pi:
T=2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Como pedimos T>0, os valores possíveis de período são T=2\pi,4\pi,6\pi,\dots

Passo 6

O menor T>0 que satisfaz a condição é T=2\pi. Portanto x_{1}(t)=\cos(t) é periódico e o período fundamental é 2\pi.

Resposta

Periódico, T=2\pi

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