Informe se os seguintes sinais são periódicos. Caso algum seja, encontre os períodos fundamentais
.
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede duas coisas: decidir se esse sinal é periódico e, caso seja, encontrar o período fundamental
. Informação fornecida: a expressão analítica do sinal é
. Essas são as perguntas que vamos responder.
Passo 2
Definição de periódico (útil para a prova): um sinal
é periódico se existe um número real
tal que
O período fundamental é o menor
que satisfaz essa igualdade. Vou usar essa definição aplicada ao nosso
.
Passo 3
Aplicando a condição de periodicidade ao nosso sinal, precisamos de
tal que
Para manipular essa igualdade usamos a fórmula de soma de ângulos do cosseno, que diz que para quaisquer ângulos
e
Usando
e
obtemos
Passo 4
Substituindo na condição de periodicidade temos, para todo
,
Reagrupando,
Agora, para que essa combinação linear de
e
seja identicamente zero para todo
, os coeficientes devem ser zero. Uma forma simples de ver isso sem falar de independência linear é avaliar a igualdade em dois valores de
.
Passo 5
Avalio em
:
Avalio em
:
As duas condições simultâneas
e
implicam que
é um múltiplo inteiro de
:
Como pedimos
, os valores possíveis de período são
Passo 6
O menor
que satisfaz a condição é
. Portanto
é periódico e o período fundamental é
.
Resposta
Periódico,