A inspeção da qualidade para atributos possui conceitos relevantes que devem ser entendidos para que ocorra a aplicação das técnicas de amostragem com eficiência. Sendo assim, apresente os seguintes conceitos:
Risco do Consumidor

Passo 1

O enunciado pede que eu apresente o conceito “Risco do Consumidor”.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): há inspeção de qualidade por atributos (amostragem por aceitação) e precisamos entender um conceito ligado à eficiência da amostragem. Não há outros dados numéricos fornecidos.

Passo 2

O que é, de forma bem simples e prática: o “Risco do Consumidor” é a chance do cliente (quem recebe o lote) ser prejudicado pelo plano de amostragem. Em palavras do dia a dia: é a probabilidade de aceitarmos um lote que, na verdade, tem qualidade ruim (muitos itens defeituosos). Isso é ruim para o consumidor porque ele recebe um lote pior do que o tolerável.

Passo 3

Definição técnica e palavras-chave (devagarinho):
  • Considere um lote onde a proporção real de itens defeituosos é p.
  • Em um plano de amostragem simples (amostragem por atributos) com tamanho de amostra n e número de aceitação c, aceitamos o lote se o número de defeituosos observados X satisfaz X \le c.
  • O “Risco do Consumidor”, normalmente denotado por \beta, é a probabilidade de aceitar um lote quando a qualidade do lote é ruim do ponto de vista do consumidor. Em controle de qualidade isso é usualmente definido como a probabilidade de aceitar um lote quando p vale um nível considerado inaceitável (chamado LTPD — Lot Tolerance Percent Defective — ou RQL — Rejectable Quality Level).
  • Em linguagem estatística, \beta é o erro do tipo II: aceitar a hipótese “lote bom” quando, de fato, o lote tem qualidade ruim.

Passo 4

Fórmula para calcular o Risco do Consumidor em um plano de amostragem simples:
A probabilidade de aceitar o lote, para uma dada proporção de defeituosos p, é a soma das probabilidades binomiais de observar 0,1,\dots,c defeituosos na amostra. Escrevendo isso:
P_{\text{aceita}}(p)=\sum_{i=0}^{c} \binom{n}{i} p^{i} (1-p)^{\,n-i}.
Aqui:
  • n é o tamanho da amostra (quantos itens vamos inspecionar),
  • c é o número máximo de defeituosos na amostra que ainda nos leva a aceitar o lote,
  • p é a proporção real de defeituosos no lote (hipótese sobre a qualidade),
  • \binom{n}{i} é o coeficiente binomial: número de formas de escolher i itens defeituosos entre n.
O Risco do Consumidor \beta é esse P_{\text{aceita}}(p) avaliado no nível de qualidade ruim escolhido (o LTPD). Ou seja:
\beta = P_{\text{aceita}}(p_{\text{ruim}})=\sum_{i=0}^{c} \binom{n}{i} p_{\text{ruim}}^{\,i} (1-p_{\text{ruim}})^{\,n-i}.

Passo 5

Explicando passo a passo como calcular isso (pra você fazer na prova):
  1. Identifique no enunciado qual é o p_{\text{ruim}} (LTPD) — é o nível de defeito que o consumidor considera inaceitável.
  2. Pegue n e c do plano de amostragem (ou do esquema pedido).
  3. Calcule os termos binomiais \binom{n}{i} e as potências p_{\text{ruim}}^{i} e (1-p_{\text{ruim}})^{n-i} para i=0,1,\dots,c.
  4. Some todos esses termos: o resultado é \beta.
    Dica: para i=0, o termo é simplesmente (1-p)^{n}. Para i=1, o termo é n\cdot p\cdot (1-p)^{n-1}. Esses dois já resolvem muitos casos quando c é pequeno.

Passo 6

Exemplo numérico pequeno, resolvido passo a passo (pra você ver o cálculo manualmente):
Suponha que n=10, c=1 e que p_{\text{ruim}}=0{,}10 (ou seja, 10% defeituosos é considerado ruim pelo consumidor). Então
\beta = P_{\text{aceita}}(0{,}10)=\sum_{i=0}^{1}\binom{10}{i}(0{,}10)^{i}(0{,}90)^{10-i}.
Calcule os termos:
  • Para i=0: \binom{10}{0}(0{,}10)^{0}(0{,}90)^{10}=(0{,}90)^{10}.
  • Para i=1: \binom{10}{1}(0{,}10)^{1}(0{,}90)^{9}=10\cdot 0{,}10\cdot (0{,}90)^{9}.
Somando os dois termos você obtém o valor de \beta. (Se precisar de aproximação numérica, calcule (0{,}90)^{9} e (0{,}90)^{10} e some conforme instruído; esses passos são mecânicos e suficientes para a prova.)

Passo 7

Casos práticos e atalhos usados na prova:
  • Quando n é grande e p pequeno, às vezes usamos a aproximação de Poisson com \lambda = n p: P_{\text{aceita}}(p)\approx \sum_{i=0}^{c} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{i}}{i!}.Isso facilita contas sem calculadora em alguns exames. Use quando n grande e p pequeno (regra prática: n\ge 20 e p\le 0{,}05 como indicação, mas verifique no enunciado).
  • Para n muito grande, a aproximação normal também é possível, mas você só recorre a ela se a prova permitir e você souber tabelas ou aproximações.
  • Interpretação: quanto menor \beta, menor a chance do consumidor receber lote ruim. Mas reduzir \beta geralmente exige aumentar n (mais inspeção) ou reduzir c (aceitar menos defeitos), e isso aumenta custo ou aumenta o risco do produtor. Então há sempre um trade-off entre risco do produtor e risco do consumidor.
  • Na hora da prova: escreva claramente quais valores você usou para n, c, p_{\text{ruim}}, escreva a soma binomial e faça as contas termo a termo. Isso mostra que você entendeu o procedimento.

Passo 8

Resumo conceitual curto para gravar na cabeça (antes da resposta final):
  • Risco do Consumidor = probabilidade de aceitar um lote quando a qualidade está no nível considerado inaceitável (LTPD).
  • Calcula-se com a soma da distribuição binomial dos casos de 0 até c defeitos na amostra.
  • É uma medida do erro tipo II no contexto de amostragem por atributos.

Resposta

O Risco do Consumidor ( \beta) é a probabilidade de aceitar um lote quando a proporção de defeituosos no lote é igual ao nível considerado inaceitável (LTPD); para um plano de amostragem com tamanho n e número de aceitação c tem-se
\beta = P_{\text{aceita}}(p_{\text{ruim}})=\sum_{i=0}^{c} \binom{n}{i} p_{\text{ruim}}^{\,i} (1-p_{\text{ruim}})^{\,n-i}.

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