Uma instalação consiste das seguintes cargas, ligadas em paralelo:
Carga \mathrm{n}^{\circ} 1 - Iluminação incandescente 5kw
Carga \mathrm{n}^{\circ} 2 - Forno elétrico de indução 5 \mathrm{~kW}, \mathrm{fp}=0,75 ind.
Carga \mathrm{n}^{\circ} 3 - Motor de C.A de indução 5HP, \mathrm{fp}=0,8 ind, rendimento =78 \%
A tensão eficaz é de 220 V e a frequência é 60 Hz . Determine o fp da instalação.

Passo 1

O enunciado dá uma instalação com três cargas ligadas em paralelo e pede o fator de potência (fp) da instalação. Dados fornecidos (extraí do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Carga n}^{\circ}1:\\ \text{Iluminação incandescente } = \,5\\ \mathrm{kW}\\ (\text{pf}=1)\\\ &\text{Carga n}^{\circ}2:\\ \text{Forno de indução } = \,5\\ \mathrm{kW},\\ \mathrm{fp}=0,75\\ \text{ind.}\\\ &\text{Carga n}^{\circ}3:\\ \text{Motor C.A. } = \,5\\ \mathrm{HP},\\ \mathrm{fp}=0,8\\ \text{ind.},\\ \eta=78\% \end{aligned}çãçã
A tensão e a frequência ( 220\\ \mathrm{V},\\\ 60\\ \mathrm{Hz}) não são necessárias para calcular o fator de potência quando trabalhamos com potências já dadas em kW/HP. Objetivo: encontrar o fator de potência total da instalação (saber se é indutivo ou capacitivo e o valor numérico).

Passo 2

Entender conceitos e fórmulas que vou usar (mini-aula prática):
  • Potência ativa (real) P é a potência útil dissipada/consumida em watts (W) ou kilowatts (kW).
  • Potência aparente S é dada por |S|=\sqrt{P^{2}+Q^{2}} e tem unidade VA ou kVA.
  • Fator de potência \mathrm{fp} é \mathrm{fp}=\cos\varphi=\dfrac{P}{|S|}.
  • A potência reativa Q (em var) está relacionada por Q=P\tan\varphi, onde \tan\varphi=\sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{fp}^{2}}-1} quando conhecemos \mathrm{fp}.
  • Para cargas indutivas Q é positivo (ou diz-se fp “indutivo” ou “atraso”).
Vou aplicar essas fórmulas a cada carga. Primeiro converto a potência do motor de HP para potência ativa elétrica (entrada) usando a eficiência.
Conversão e cálculo da potência elétrica do motor:
1\\ \mathrm{HP}=746\\ \mathrm{W}
\text{Potência mecânica do motor }P_{\text{out}}=5\\ \mathrm{HP}=5\cdot 746\\ \mathrm{W}=3730\\ \mathrm{W}=3{,}730\\ \mathrm{kW}êâ
Como a eficiência é \eta=78\%=0{,}78, a potência elétrica absorvida (ativa) pelo motor é
P_{\text{motor}}=\dfrac{P_{\text{out}}}{\eta}=\dfrac{3{,}730\\ \mathrm{kW}}{0{,}78}=4{,}782051\\ \mathrm{kW}\approx 4{,}782\\ \mathrm{kW}.

Passo 3

Calcular a componente reativa do motor usando \mathrm{fp}=0{,}8 (indutivo).
Primeiro calculo \tan\varphi para a carga do motor:
\tan\varphi=\sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{fp}^{2}}-1}=\sqrt{\dfrac{1}{0{,}8^{2}}-1}=\sqrt{\dfrac{1}{0{,}64}-1}=\sqrt{1{,}5625-1}=\sqrt{0{,}5625}=0{,}75.
Então a potência reativa do motor é
Q_{\text{motor}}=P_{\text{motor}}\tan\varphi=4{,}782051\\ \mathrm{kW}\times 0{,}75=3{,}586538\\ \mathrm{kVAr}\approx 3{,}587\\ \mathrm{kVAr}.
Também posso obter a potência aparente do motor:
|S_{\text{motor}}|=\dfrac{P_{\text{motor}}}{\mathrm{fp}}=\dfrac{4{,}782051}{0{,}8}=5{,}977564\\ \mathrm{kVA}\approx 5{,}978\\ \mathrm{kVA}.

Passo 4

Calcular a componente reativa do forno (5 kW, \mathrm{fp}=0{,}75 indutivo).
Primeiro \tan\varphi para \mathrm{fp}=0{,}75:
\tan\varphi=\sqrt{\dfrac{1}{0{,}75^{2}}-1}=\sqrt{\dfrac{1}{0{,}5625}-1}=\sqrt{1{,}777777\ldots-1}=\sqrt{0{,}777777\ldots}=0{,}881917\ldots \approx 0{,}881917.
Potência reativa do forno:
Q_{\text{forno}}=P_{\text{forno}}\tan\varphi=5{,}000\\ \mathrm{kW}\times 0{,}881917=4{,}409585\\ \mathrm{kVAr}\approx 4{,}410\\ \mathrm{kVAr}.
A potência aparente do forno:
|S_{\text{forno}}|=\dfrac{5{,}000}{0{,}75}=6{,}666667\\ \mathrm{kVA}\approx 6{,}667\\ \mathrm{kVA}.

Passo 5

Iluminação: é puramente resistiva, portanto
P_{\text{ilum}}=5{,}000\\ \mathrm{kW},\qquad Q_{\text{ilum}}=0\\ \mathrm{kVAr},\qquad |S_{\text{ilum}}|=5{,}000\\ \mathrm{kVA}.
Agora somo as potências ativas e reativas (somas diretas porque as cargas estão em paralelo e S complexo soma componente a componente):
P_{\text{total}}=P_{\text{ilum}}+P_{\text{forno}}+P_{\text{motor}}=5{,}000+5{,}000+4{,}782051=14{,}782051\\ \mathrm{kW}\approx 14{,}782\\ \mathrm{kW}.
Q_{\text{total}}=Q_{\text{ilum}}+Q_{\text{forno}}+Q_{\text{motor}}=0+4{,}409585+3{,}586538=7{,}996123\\ \mathrm{kVAr}\approx 7{,}996\\ \mathrm{kVAr}.

Passo 6

Calcular a potência aparente total e o fator de potência total:
|S_{\text{total}}|=\sqrt{P_{\text{total}}^{2}+Q_{\text{total}}^{2}}=\sqrt{(14{,}782051)^{2}+(7{,}996123)^{2}}\\ \mathrm{kVA}.
Faço os quadrados (em kVA ^2):
(14{,}782051)^{2}=218{,}50903\ldots,\qquad (7{,}996123)^{2}=63{,}937999\ldots
|S_{\text{total}}|=\sqrt{218{,}50903+63{,}937999}=\sqrt{282{,}44703}=16{,}804\\ \mathrm{kVA}\approx 16{,}804\\ \mathrm{kVA}.
Finalmente, o fator de potência da instalação é
\mathrm{fp}_{\text{inst}}=\dfrac{P_{\text{total}}}{|S_{\text{total}}|}=\dfrac{14{,}782051}{16{,}804}=0{,}8799\approx 0{,}88.
Como Q_{\text{total}}>0 (reagente indutivo), o fator é de natureza indutiva (atraso).

Resposta

\mathrm{fp}=0,88 ind.

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