Para os números imaginários abaixo:
\begin{aligned} & Z_{1}=3,2+j 2,5 \\\ & Z_{2}=1,5+j 4,3 \\\ & Z_{3}=1,28+j 1,75 \\\ & Z_{4}=2,68+j 3,35 \end{aligned}
Calcule:
Multiplicação Z_{9}=Z_{1} \times Z_{2} e Z_{10}=Z_{3} \times Z_{4}

Passo 1

O enunciado fornece quatro números complexos (na forma retangular) e pede duas multiplicações. As informações dadas são:
Z_{1}=3,2+j\,2,5
Z_{2}=1,5+j\,4,3
Z_{3}=1,28+j\,1,75
Z_{4}=2,68+j\,3,35
As perguntas específicas são:
\text{Calcular }Z_{9}=Z_{1}\times Z_{2}\quad\text{e}\quad Z_{10}=Z_{3}\times Z_{4}.

Passo 2

Regra que vamos usar (mostro por que funciona): seja a+jb e c+jd dois complexos. Multiplicando por distributividade:
(a+jb)(c+jd)=ac+jad+jbc+j^2bd.
Como j^2=-1, obtemos a fórmula padrão
(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc).
Aqui:
  • a é a parte real do primeiro número;
  • b é a parte imaginária do primeiro número;
  • c é a parte real do segundo número;
  • d é a parte imaginária do segundo número.
    Essa fórmula é a que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Aplicando a fórmula em Z_{9}=Z_{1}\times Z_{2}. Identifico:
a=3,2,\quad b=2,5,\quad c=1,5,\quad d=4,3.
Calculo os produtos necessários:
ac=3,2\times1,5=4,8
bd=2,5\times4,3=10,75
ad=3,2\times4,3=13,76
bc=2,5\times1,5=3,75
Agora uso a fórmula (ac-bd)+j(ad+bc):
\text{parte real}=ac-bd=4,8-10,75=-5,95
\text{parte imaginária}=ad+bc=13,76+3,75=17,51á
Portanto, o resultado intermediário é
Z_{9}=-5,95+j\,17,51.

Passo 4

Pequeno comentário didático: quando multiplicar números com casas decimais, uma estratégia prática é decompor (por exemplo 3,2\times4,3=3,2\times(4+0,3)) ou fazer a conta como em inteiros e recolocar a vírgula; aqui eu mostrei os resultados diretos para ficar claro e rápido na prova.

Passo 5

Agora aplico a fórmula em Z_{10}=Z_{3}\times Z_{4}. Identifico:
a=1,28,\quad b=1,75,\quad c=2,68,\quad d=3,35.
Calculo os produtos necessários:
ac=1,28\times2,68=3,4304
bd=1,75\times3,35=5,8625
ad=1,28\times3,35=4,288
bc=1,75\times2,68=4,690
Uso a fórmula (ac-bd)+j(ad+bc):
\text{parte real}=ac-bd=3,4304-5,8625=-2,4321
\text{parte imaginária}=ad+bc=4,288+4,690=8,978á
Portanto:
Z_{10}=-2,4321+j\,8,978.

Resposta

Z_{9}=-5,95+j\,17,51
Z_{10}=-2,4321+j\,8,978

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