Para os números imaginários abaixo:
\begin{aligned} & Z_{1}=3,2+j 2,5 \\\ & Z_{2}=1,5+j 4,3 \\\ & Z_{3}=1,28+j 1,75 \\\ & Z_{4}=2,68+j 3,35 \end{aligned}
Calcule:
Divisão Z_{11}=Z_{1} \div Z_{2} e Z_{12}=Z_{3} \div Z_{4}

Passo 1

O enunciado dá quatro números complexos (imaginários no sentido da engenharia, com unidade j) e pede duas divisões:
Z_{1}=3,2+j\,2,5
Z_{2}=1,5+j\,4,3
Z_{3}=1,28+j\,1,75
Z_{4}=2,68+j\,3,35
As perguntas específicas são:
  • Calcular Z_{11}=Z_{1}\div Z_{2}.
  • Calcular Z_{12}=Z_{3}\div Z_{4}.

Passo 2

Como dividir dois números complexos? Vou explicar passo a passo a técnica mais direta (e a que o professor costuma querer): multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Isso transforma a divisão em uma fração cujo denominador fica real, facilitando a separação em parte real e imaginária.
Se tivermos
\frac{a+j b}{c+j d},
o conjugado do denominador é c-j d. Multiplicando cima e baixo por esse conjugado obtemos
\frac{a+j b}{c+j d}=\frac{(a+j b)(c-j d)}{(c+j d)(c-j d)}.
No numerador, usando j^2=-1,
(a+j b)(c-j d)=(ac+bd)+j(bc-ad).
No denominador,
(c+j d)(c-j d)=c^2+d^2,
que é um número real (a soma dos quadrados das partes real e imaginária do denominador). Portanto a fórmula prática é
\frac{a+j b}{c+j d}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+j\frac{bc-ad}{c^2+d^2}.
Aqui:
  • a é a parte real do numerador,
  • b é a parte imaginária do numerador,
  • c é a parte real do denominador,
  • d é a parte imaginária do denominador.
Agora aplicamos essa fórmula nos dois casos dados. Vou calcular cada produto e soma explicitamente, sem pular etapas.

Passo 3

Cálculo de Z_{11}=Z_{1}\div Z_{2}.
Identificação das partes:
a=3,2,\quad b=2,5,\quad c=1,5,\quad d=4,3.
Calcule os produtos que aparecem na fórmula:
ac=3,2\cdot 1,5=4,8,
bd=2,5\cdot 4,3=10,75,
bc=2,5\cdot 1,5=3,75,
ad=3,2\cdot 4,3=13,76.
Agora a parte real do numerador:
ac+bd=4,8+10,75=15,55.
Parte imaginária do numerador:
bc-ad=3,75-13,76=-10,01.
Denominador (módulo ao quadrado de Z_{2}):
c^2+d^2=1,5^2+4,3^2=2,25+18,49=20,74.
Dividindo componente a componente:
\Re(Z_{11})=\frac{15,55}{20,74}\approx 0,7498,
\Im(Z_{11})=\frac{-10,01}{20,74}\approx -0,4829.
Portanto, em forma a+j b,
Z_{11}\approx 0,7498 - j\,0,4829.
Se preferir arredondar a três casas decimais: Z_{11}\approx 0,750 - j\,0,483.

Passo 4

Cálculo de Z_{12}=Z_{3}\div Z_{4}.
Identificação das partes:
a=1,28,\quad b=1,75,\quad c=2,68,\quad d=3,35.
Calcule os produtos:
ac=1,28\cdot 2,68=3,4304,
bd=1,75\cdot 3,35=5,8625,
bc=1,75\cdot 2,68=4,69,
ad=1,28\cdot 3,35=4,288.
Parte real do numerador:
ac+bd=3,4304+5,8625=9,2929.
Parte imaginária do numerador:
bc-ad=4,69-4,288=0,402.
Denominador (módulo ao quadrado de Z_{4}):
c^2+d^2=2,68^2+3,35^2=7,1824+11,2225=18,4049.
Dividindo:
\Re(Z_{12})=\frac{9,2929}{18,4049}\approx 0,5049,
\Im(Z_{12})=\frac{0,402}{18,4049}\approx 0,0218.
Assim,
Z_{12}\approx 0,5049 + j\,0,0218.
Arredondando a três casas decimais: Z_{12}\approx 0,505 + j\,0,022.

Resposta

Z_{11}\approx 0,7498 - j\,0,4829
Z_{12}\approx 0,5049 + j\,0,0218

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