Uma instalação residencial recebe três fases e o neutro da companhia distribuidora de energia elétrica. Em um determinado instante somente dois eletrodomésticos estão ligados. O primeiro está ligado entre a fase C e o neutro (N) e consumo 900 W com fator de potência (PP) 0,9 indutivo. O segundo está conectado entre as fases B e C e consumo 4000 W com FP unitário. Considerando V_{B N}=127 \angle 0^{\circ} \mathrm{V}, V_{C N}=127 \angle-120^{\circ} \mathrm{V} e V_{A N}=127 \angle 120^{\circ} \mathrm{V}.
a) Para este instante, obter as correntes consumidas pelos equipamentos e as correntes de linha e de neutro fornecidas pela companhia. (2,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede que, no instante indicado, eu calcule as correntes absorvidas pelos dois equipamentos e as correntes de linha e de neutro fornecidas pela companhia. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
V_{B N}=127\angle 0^\circ\\ \mathrm{V},\quad V_{C N}=127\angle -120^\circ\\ \mathrm{V},\quad V_{A N}=127\angle 120^\circ\\ \mathrm{V}.
Equipamento 1 (conectado entre C e N):
P_1=900\\ \mathrm{W},\quad \mathrm{FP}_1=0{,}9\\ \text{indutivo}.
Equipamento 2 (conectado entre B e C):
P_2=4000\\ \mathrm{W},\quad \mathrm{FP}_2=1{,}0\\ (\text{resistivo}).
O que preciso entregar:
  • Corrente consumida pelo equipamento entre C e N (módulo e ângulo), que chamo de I_1.
  • Corrente consumida pelo equipamento entre B e C (módulo e ângulo no sentido de B\to C), que chamo de I_2.
  • Correntes de linha I_A,\;I_B,\;I_C (phases A, B, C, com convenção positiva: corrente do gerador para a instalação).
  • Corrente de neutro I_N (com a mesma convenção de sinal que eu usar para as fases).
    Nada mais será assumido; vou calcular passo a passo.

Passo 2

Cálculo de I_1 (equipamento entre C e N).
Primeiro, a fórmula básica de potência ativa para carga em regime senoidal que liga tensão e corrente eficazes é
P = V_{\text{rms}}\; I_{\text{rms}}\; \mathrm{FP},
onde P é a potência ativa (W), V_{\text{rms}} é a tensão eficaz aplicada à carga (V), I_{\text{rms}} é a corrente eficaz (A) e \mathrm{FP}=\cos\varphi é o fator de potência (adimensional). Desse modo, a magnitude da corrente é
I = \frac{P}{V\,\mathrm{FP}}.
No nosso caso para o equipamento 1: V = |V_{C N}|=127\\ \mathrm{V}, P_1=900\\ \mathrm{W}, \mathrm{FP}_1=0{,}9. Logo
I_1^{(\text{mag})}=\frac{900}{127\cdot 0{,}9}=\frac{900}{114{,}3}\approx 7{,}876\\ \mathrm{A}.
Agora o ângulo: como a carga é indutiva o valor da corrente atrasa a tensão por um ângulo \varphi com \cos\varphi=\mathrm{FP}. Portanto
\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}9)\approx 25{,}84^\circ.
A tensão de fase C tem ângulo -120^\circ, então a corrente (que atrasa) tem ângulo
\angle I_1 = \angle V_{C N} - \varphi = -120^\circ - 25{,}84^\circ = -145{,}84^\circ.
Portanto o equipamento 1 consome a corrente phasor
I_1 \approx 7{,}876\angle -145{,}84^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Cálculo da tensão entre fases B e C, que é a tensão aplicada ao equipamento 2. A diferença de fases é
V_{B C}=V_{B N}-V_{C N}.
Converto V_{B N} e V_{C N} para forma retangular para subtrair:
V_{B N}=127\angle 0^\circ = 127 + j0\\ \mathrm{V},
V_{C N}=127\angle -120^\circ = 127\bigl(\cos(-120^\circ)+j\sin(-120^\circ)\bigr) = -63{,}5 - j110{,}0\\ \mathrm{V}.
Logo
V_{B C} = (127 - (-63{,}5)) + j(0 - (-110{,}0)) = 190{,}5 + j110{,}0\\ \mathrm{V}.
Magnitude e ângulo:
|V_{B C}|=\sqrt{190{,}5^{2}+110{,}0^{2}}\approx 219{,}95\\ \mathrm{V},\qquad \angle V_{B C}\approx 30{,}0^\circ.
(Observação: consistentemente |V_{B C}|\approx\sqrt{3}\,127\approx 220\\ \mathrm{V} e o ângulo resulta 30^\circ.)

Passo 4

Cálculo de I_2 (equipamento entre B e C), que é resistivo ( \mathrm{FP}_2=1).
Usando a fórmula da potência:
I_2^{(\text{mag})}=\frac{P_2}{|V_{B C}|\cdot \mathrm{FP}_2}=\frac{4000}{219{,}95\cdot 1}\approx 18{,}183\\ \mathrm{A}.
Como a carga é puramente resistiva a corrente está em fase com V_{B C}, portanto
I_2 \approx 18{,}183\angle 30{,}0^\circ\\ \mathrm{A}.
Interpretação física do sentido: esse phasor corresponde à corrente que flui do fio B para o fio C (convenção positiva tomada como corrente que sai do gerador nos condutores de fase).

Passo 5

Expressões das correntes de linha segundo a convenção (corrente positiva do gerador para a instalação):
  • Não há carga conectada à fase A, logo
I_A=0\\ \mathrm{A}.
  • O equipamento entre B e C retira corrente do condutor B igual a I_2 (da fonte em B para a carga), então
I_B = I_2.
  • No condutor C há duas contribuições: o equipamento entre C e N puxa I_1 do condutor C para o neutro (corrente saindo de C), e o equipamento entre B e C entrega corrente ao condutor C no sentido de B\to C (ou seja, na fase C essa contribuição é -I_2 quando uso a convenção “saída do gerador”). Assim
I_C = I_1 - I_2.
  • A corrente de neutro satisfaz a lei das correntes (somatório no nó do gerador): I_A+I_B+I_C+I_N=0. Como I_A=0 isso implica
I_N = - (I_A+I_B+I_C) = - (I_B + I_C) = - (I_2 + (I_1 - I_2)) = -I_1.
Ou seja, a corrente de neutro tem mesmo módulo de I_1 e sentido/oposição phasorial 180^\circ (está retornando a corrente do equipamento ligado C\!-\!N).

Passo 6

Cálculo numérico final em forma retangular para somas e depois volta a polar.
Já temos:
I_1\approx 7{,}876\angle -145{,}84^\circ\\ \mathrm{A},\qquad I_2\approx 18{,}183\angle 30{,}0^\circ\\ \mathrm{A}.
Converto para retangular (uso \cos e \sin):
I_1 \approx 7{,}876(\cos(-145{,}84^\circ)+j\sin(-145{,}84^\circ))\approx -6{,}512 - j4{,}428\\ \mathrm{A},
I_2 \approx 18{,}183(\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ)\approx 15{,}742 + j9{,}091\\ \mathrm{A}.
Agora I_C=I_1-I_2:
I_C \approx (-6{,}512 - j4{,}428) - (15{,}742 + j9{,}091) = -22{,}254 - j13{,}519\\ \mathrm{A}.
Passo para forma polar: módulo e ângulo
|I_C|=\sqrt{(-22{,}254)^2+(-13{,}519)^2}\approx 26{,}035\\ \mathrm{A},
\angle I_C=\operatorname{atan2}(-13{,}519,\,-22{,}254)\approx -149{,}0^\circ.
Para I_B e I_A já temos:
I_B = I_2 \approx 18{,}183\angle 30{,}0^\circ\\ \mathrm{A},\qquad I_A=0\\ \mathrm{A}.
E I_N=-I_1:
I_N \approx 7{,}876\angle 34{,}16^\circ\\ \mathrm{A}.
(Observação: \angle I_N=\angle I_1+180^\circ=-145{,}84^\circ+180^\circ=34{,}16^\circ.)

Resposta

I_1 \approx 7{,}876\angle -145{,}84^\circ\\ \mathrm{A} (corrente do equipamento C\!-\!N).
I_2 \approx 18{,}183\angle 30{,}0^\circ\\ \mathrm{A} (corrente do equipamento B\!-\!C, sentido B\to C).
I_A = 0\\ \mathrm{A}.
I_B \approx 18{,}183\angle 30{,}0^\circ\\ \mathrm{A}.
I_C \approx 26{,}035\angle -149{,}0^\circ\\ \mathrm{A}.
I_N \approx 7{,}876\angle 34{,}16^\circ\\ \mathrm{A}.

Exercícios relacionados