Uma partícula puntual de carga 3 q está fixada à origem e uma partícula puntual de carga -q está fixada na posição x=a>0. Em que ponto ao longo do eixo x o campo elétrico é nulo?
(A) x=\frac{a}{\sqrt{3}+1}
(B) x=\frac{a \sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}
(C) x=\frac{a}{\sqrt{3}-1}
(D) x=a \sqrt{3}
(E) x=\frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que foi dado):\n
Temos duas partículas pontuais fixas sobre o eixo x:\n
  • Uma carga 3q localizada na origem, ou seja em x=0.\n
  • Uma carga -q localizada em x=a, com a>0.\n
    A pergunta é: em que ponto ao longo do eixo x o campo elétrico resultante é nulo? Ou seja, encontrar x tal que o campo elétrico total \vec{E}_{\text{total}}(x)=\vec{0}.\n
    As alternativas listam possíveis valores de x.

Passo 2

Relembrando a lei que usamos (aulas rápidas): Coulomb e superposição.\n
A intensidade do campo elétrico gerado por uma carga pontual Q em um ponto situado a uma distância r dessa carga é dada por\n
E=\frac{k|Q|}{r^{2}},\n
onde k é a constante eletrostática (não precisamos do valor numérico pois ela cancela), Q é a carga e r é a distância entre a carga e o ponto considerado. O vetor campo aponta para longe da carga se Q>0 (repulsão) e para a carga se Q<0 (atração).\n
Como o problema é unidimensional (eixo x), tratamos as direções com sinais: campo para a direita = sentido positivo, para a esquerda = sentido negativo.

Passo 3

Identificar as regiões possíveis ao longo do eixo x e o sentido dos campos em cada região.\n
As regiões são: x<0 (à esquerda da origem), 0<x<a (entre as cargas) e x>a (à direita da carga em a).\n
  • Para 0<x<a: a carga 3q (positiva) empurra para a direita; a carga -q (negativa) atrai também para a direita (pois o ponto está à esquerda de a). Logo os campos têm o mesmo sentido e não podem se anular ali.\n
  • Para x>a: a carga 3q empurra para a direita; a carga -q atrai para a esquerda. Os campos têm sentidos opostos — é possível haver anulação.\n
  • Para x<0: a carga 3q empurra para a esquerda; a carga -q (que está à direita) atrai para a direita. Os campos têm sentidos opostos — pode haver anulação. Portanto só há chance em x>a ou em x<0.

Passo 4

Montar a equação de equilíbrio dos módulos dos campos (condição para anulação):\n
Seja x a posição onde E_{\text{total}}=0. Denotamos as distâncias até as cargas por\n
r_1=|x-0|=|x| \quad\text{(distância à carga \(3q\))},âà\n
r_2=|x-a| \quad\text{(distância à carga \(-q\))}.âà\n
Igualando os módulos dos campos (porque para anular precisam ter mesma intensidade e sentidos opostos):
\frac{k\cdot 3q}{r_1^{2}}=\frac{k\cdot q}{r_2^{2}}.\n
Cancelando k e q (assumimos q\neq0):
\frac{3}{r_1^{2}}=\frac{1}{r_2^{2}} \quad\Rightarrow\quad 3\,r_2^{2}=r_1^{2}.\n
Tomando raízes positivas (pois r_1,r_2 são distâncias):
r_1=\sqrt{3}\,r_2.

Passo 5

Resolver na região x>a (já que ali os sentidos são opostos e é provável achar solução):\n
Nessa região x>a temos r_1=x e r_2=x-a (ambos positivos). Substituindo em r_1=\sqrt{3}\,r_2:
x=\sqrt{3}\,(x-a).\n
Desenvolvendo:
x=\sqrt{3}\,x-\sqrt{3}\,a.\n
Isolando x:
x-\sqrt{3}\,x=-\sqrt{3}\,a,\n
x(1-\sqrt{3})=-\sqrt{3}\,a,\n
multiplicando numerador e denominador por -1 para simplificar:
x=\frac{\sqrt{3}\,a}{\sqrt{3}-1}.

Passo 6

Verificar consistência da solução encontrada com a hipótese x>a:\n
Como \sqrt{3}\approx 1,732, o valor numérico é\n
x\approx\frac{1,732\,a}{0,732}\approx 2,366\,a,\n
que é maior que a. Portanto a solução está dentro da região assumida ( x>a) e é válida.

Passo 7

Verificar rapidamente a região x<0 para confirmar que não há solução lá:\n
Para x<0 teríamos r_1=-x e r_2=a-x. A relação r_1=\sqrt{3}\,r_2 vira\n
-x=\sqrt{3}\,(a-x).\n
Isso leva a uma solução x=\dfrac{\sqrt{3}\,a}{\sqrt{3}-1}, que é positiva — contradição com x<0. Logo não há solução válida em x<0.\n
Também já vimos que em 0<x<a não há anulação porque os campos têm mesmo sentido.

Passo 8

Conclusão: a única posição sobre o eixo x onde o campo elétrico resultante é nulo é\n
x=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1},\n
que corresponde à alternativa (E).

Resposta

x=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}

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