Uma partícula puntual de carga
está fixada à origem e uma partícula puntual de carga
está fixada na posição
. Em que ponto ao longo do eixo
o campo elétrico é nulo?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que foi dado):\n
Temos duas partículas pontuais fixas sobre o eixo :\n
Temos duas partículas pontuais fixas sobre o eixo
- Uma carga
localizada na origem, ou seja em .\n - Uma carga
localizada em , com .\n
A pergunta é: em que ponto ao longo do eixoo campo elétrico resultante é nulo? Ou seja, encontrar tal que o campo elétrico total .\n
As alternativas listam possíveis valores de.
Passo 2
Relembrando a lei que usamos (aulas rápidas): Coulomb e superposição.\n
A intensidade do campo elétrico gerado por uma carga pontual em um ponto situado a uma distância
dessa carga é dada por\n
A intensidade do campo elétrico gerado por uma carga pontual
onde
é a constante eletrostática (não precisamos do valor numérico pois ela cancela),
é a carga e
é a distância entre a carga e o ponto considerado. O vetor campo aponta para longe da carga se
(repulsão) e para a carga se
(atração).\n
Como o problema é unidimensional (eixo ), tratamos as direções com sinais: campo para a direita = sentido positivo, para a esquerda = sentido negativo.
Como o problema é unidimensional (eixo
Passo 3
Identificar as regiões possíveis ao longo do eixo
e o sentido dos campos em cada região.\n
As regiões são: (à esquerda da origem),
(entre as cargas) e
(à direita da carga em
).\n
As regiões são:
- Para
: a carga (positiva) empurra para a direita; a carga (negativa) atrai também para a direita (pois o ponto está à esquerda de ). Logo os campos têm o mesmo sentido e não podem se anular ali.\n - Para
: a carga empurra para a direita; a carga atrai para a esquerda. Os campos têm sentidos opostos — é possível haver anulação.\n - Para
: a carga empurra para a esquerda; a carga (que está à direita) atrai para a direita. Os campos têm sentidos opostos — pode haver anulação. Portanto só há chance em ou em .
Passo 4
Montar a equação de equilíbrio dos módulos dos campos (condição para anulação):\n
Seja a posição onde
. Denotamos as distâncias até as cargas por\n
Seja
Igualando os módulos dos campos (porque para anular precisam ter mesma intensidade e sentidos opostos):
Cancelando
e
(assumimos
):
Tomando raízes positivas (pois
são distâncias):
Passo 5
Resolver na região
(já que ali os sentidos são opostos e é provável achar solução):\n
Nessa região temos
e
(ambos positivos). Substituindo em
:
Nessa região
Desenvolvendo:
Isolando
:
multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Passo 6
Verificar consistência da solução encontrada com a hipótese
:\n
Como , o valor numérico é\n
Como
que é maior que
. Portanto a solução está dentro da região assumida (
) e é válida.
Passo 7
Verificar rapidamente a região
para confirmar que não há solução lá:\n
Para teríamos
e
. A relação
vira\n
Para
Isso leva a uma solução
, que é positiva — contradição com
. Logo não há solução válida em
.\n
Também já vimos que em não há anulação porque os campos têm mesmo sentido.
Também já vimos que em
Passo 8
Conclusão: a única posição sobre o eixo
onde o campo elétrico resultante é nulo é\n
que corresponde à alternativa (E).