Dada a expressão do Tensor de Maxwell
d \mathbf{F}=-\frac{\mu_{0} H^{2}}{2} d \mathbf{s}+\mu_{0}(\mathbf{H} \cdot d \mathbf{s}) \cdot \mathbf{H}
para um caso geral temos d \mathbf{s}=d s_{x} \mathbf{i}+d s_{y} \mathbf{j} e \mathbf{H}=H_{x} \mathbf{i}+H_{y} \mathbf{j}. Calcule os componentes d F_{x} e d F_{y} bem como |d \mathbf{F}|.

Passo 1

O enunciado dá a expressão
d\mathbf{F}=-\frac{\mu_{0}H^{2}}{2}\,d\mathbf{s}+\mu_{0}(\mathbf{H}\cdot d\mathbf{s})\,\mathbf{H}
e especifica que
d\mathbf{s}=d s_{x}\,\mathbf{i}+d s_{y}\,\mathbf{j},\qquad \mathbf{H}=H_{x}\,\mathbf{i}+H_{y}\,\mathbf{j}.
O que devemos calcular explicitamente são:
  • os componentes dF_{x} e dF_{y} (as componentes do vetor d\mathbf{F} na base \{\mathbf{i},\mathbf{j}\});
  • o módulo |d\mathbf{F}|.
As informações relevantes dadas pelo enunciado já estão listadas acima (a fórmula para d\mathbf{F} e as componentes de d\mathbf{s} e \mathbf{H}).

Passo 2

Primeiro vamos escrever e explicar quantidades que aparecem na fórmula:
  • Produto escalar (dot product): para dois vetores no plano \mathbf{a}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j} e \mathbf{b}=b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j} temos
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x + a_y b_y.
Aplicando isso a \mathbf{H} e d\mathbf{s} obtemos
\mathbf{H}\cdot d\mathbf{s}=H_x\,d s_x + H_y\,d s_y.
  • Norma ao quadrado de \mathbf{H}: definimos H^{2}=\mathbf{H}\cdot\mathbf{H}, portanto
H^{2}=H_x^{2}+H_y^{2}.
Agora já temos H^{2} e \mathbf{H}\cdot d\mathbf{s} em termos das componentes.

Passo 3

Substituímos essas expressões na fórmula dada:
d\mathbf{F}=-\frac{\mu_{0}}{2}(H_x^{2}+H_y^{2})(d s_x\,\mathbf{i}+d s_y\,\mathbf{j}) +\mu_{0}(H_x\,d s_x+H_y\,d s_y)(H_x\,\mathbf{i}+H_y\,\mathbf{j}).
Agora vamos separar as componentes em \mathbf{i} e \mathbf{j}.

Passo 4

Componente x (coeficiente de \mathbf{i}):
\begin{aligned} dF_x &= -\frac{\mu_{0}}{2}(H_x^{2}+H_y^{2})\,d s_x +\mu_{0}(H_x\,d s_x+H_y\,d s_y)\,H_x \\\ &= \mu_{0}\Big[-\frac{1}{2}(H_x^{2}+H_y^{2})\,d s_x + H_x^{2}\,d s_x + H_x H_y\,d s_y\Big]. \end{aligned}
Agrupando termos com d s_x:
\begin{aligned} dF_x &= \mu_{0}\Big[\Big(-\frac{1}{2}H_x^{2}+H_x^{2}\Big)d s_x -\frac{1}{2}H_y^{2}\,d s_x + H_x H_y\,d s_y\Big] \\\ &= \mu_{0}\Big[\frac{1}{2}H_x^{2}\,d s_x -\frac{1}{2}H_y^{2}\,d s_x + H_x H_y\,d s_y\Big] \\\ &= \mu_{0}\Big[\frac{1}{2}(H_x^{2}-H_y^{2})\,d s_x + H_x H_y\,d s_y\Big]. \end{aligned}

Passo 5

Componente y (coeficiente de \mathbf{j}):
\begin{aligned} dF_y &= -\frac{\mu_{0}}{2}(H_x^{2}+H_y^{2})\,d s_y +\mu_{0}(H_x\,d s_x+H_y\,d s_y)\,H_y \\\ &= \mu_{0}\Big[-\frac{1}{2}(H_x^{2}+H_y^{2})\,d s_y + H_x H_y\,d s_x + H_y^{2}\,d s_y\Big]. \end{aligned}
Agrupando:
\begin{aligned} dF_y &= \mu_{0}\Big[H_x H_y\,d s_x +\Big(-\frac{1}{2}H_x^{2}+H_y^{2}-\frac{1}{2}H_y^{2}\Big)d s_y\Big] \\\ &= \mu_{0}\Big[H_x H_y\,d s_x + \frac{1}{2}(H_y^{2}-H_x^{2})\,d s_y\Big]. \end{aligned}
Observação: podemos notar que as componentes podem ser escritas de forma compacta usando
dF_x=\mu_{0}\big(A\,d s_x + B\,d s_y\big),\qquad dF_y=\mu_{0}\big(B\,d s_x - A\,d s_y\big),
onde definimos
A=\frac{1}{2}(H_x^{2}-H_y^{2}),\qquad B=H_x H_y.

Passo 6

Cálculo do módulo |d\mathbf{F}|. Usamos |d\mathbf{F}|=\sqrt{dF_x^{2}+dF_y^{2}}. Substituindo as formas com A,B:
\begin{aligned} |d\mathbf{F}| &= \mu_{0}\sqrt{(A\,d s_x + B\,d s_y)^{2} + (B\,d s_x - A\,d s_y)^{2}}. \end{aligned}
Expandindo os quadrados:
\begin{aligned} &(A\,d s_x + B\,d s_y)^{2} + (B\,d s_x - A\,d s_y)^{2} \\\ &= A^{2}d s_x^{2} + 2AB\,d s_x d s_y + B^{2}d s_y^{2} + B^{2}d s_x^{2} - 2AB\,d s_x d s_y + A^{2}d s_y^{2} \\\ &= (A^{2}+B^{2})(d s_x^{2}+d s_y^{2}). \end{aligned}
Os termos mistos 2AB\,d s_x d s_y cancelam — isso é um truque útil e que facilita muito a conta.
Agora calculemos A^{2}+B^{2}. Lembrando A=\tfrac{1}{2}(H_x^{2}-H_y^{2}) e B=H_x H_y:
\begin{aligned} A^{2}+B^{2} &= \frac{1}{4}(H_x^{2}-H_y^{2})^{2} + H_x^{2}H_y^{2} \\\ &= \frac{1}{4}\big(H_x^{4} -2H_x^{2}H_y^{2} + H_y^{4}\big) + H_x^{2}H_y^{2} \\\ &= \frac{1}{4}\big(H_x^{4} + 2H_x^{2}H_y^{2} + H_y^{4}\big) \\\ &= \frac{1}{4}(H_x^{2}+H_y^{2})^{2} \\\ &= \frac{1}{4}H^{4}. \end{aligned}
Portanto
|d\mathbf{F}| = \mu_{0}\sqrt{\frac{1}{4}H^{4}(d s_x^{2}+d s_y^{2})} = \mu_{0}\frac{H^{2}}{2}\sqrt{d s_x^{2}+d s_y^{2}}.
Como \sqrt{d s_x^{2}+d s_y^{2}}=|d\mathbf{s}|, obtemos a forma simples final:
|d\mathbf{F}|=\frac{\mu_{0}H^{2}}{2}\,|d\mathbf{s}|.

Resposta

dF_x=\mu_{0}\Big[\dfrac{1}{2}(H_x^{2}-H_y^{2})\,d s_x + H_x H_y\,d s_y\Big]
dF_y=\mu_{0}\Big[H_x H_y\,d s_x + \dfrac{1}{2}(H_y^{2}-H_x^{2})\,d s_y\Big]
|d\mathbf{F}|=\dfrac{\mu_{0}H^{2}}{2}\,|d\mathbf{s}|=\dfrac{\mu_{0}}{2}(H_x^{2}+H_y^{2})\sqrt{d s_x^{2}+d s_y^{2}}

Exercícios relacionados