Dada a expressão do Tensor de Maxwell
para um caso geral temos
e
. Calcule os componentes
e
bem como
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e especifica que
O que devemos calcular explicitamente são:
- os componentes
e (as componentes do vetor na base ); - o módulo
.
As informações relevantes dadas pelo enunciado já estão listadas acima (a fórmula para
e as componentes de
e
).
Passo 2
Primeiro vamos escrever e explicar quantidades que aparecem na fórmula:
- Produto escalar (dot product): para dois vetores no plano
e temos
Aplicando isso a
e
obtemos
- Norma ao quadrado de
: definimos , portanto
Agora já temos
e
em termos das componentes.
Passo 3
Substituímos essas expressões na fórmula dada:
Agora vamos separar as componentes em
e
.
Passo 4
Componente
(coeficiente de
):
Agrupando termos com
:
Passo 5
Componente
(coeficiente de
):
Agrupando:
Observação: podemos notar que as componentes podem ser escritas de forma compacta usando
onde definimos
Passo 6
Cálculo do módulo
. Usamos
. Substituindo as formas com
:
Expandindo os quadrados:
Os termos mistos
cancelam — isso é um truque útil e que facilita muito a conta.
Agora calculemos
. Lembrando
e
:
Portanto
Como
, obtemos a forma simples final: