O instituto de meteorologia de uma cidade do sul do país registrou a temperatura local nas 12 primeiras horas de um dia de inverno. Uma lei que pode representar a temperatura (T) em função da hora (x) é
T(x)=\frac{1}{4} x^{2}-\frac{7}{2} x+k
Com 0 \leq \mathrm{x} \leq 12 e k uma constante real, determine:
a) O valor de k, sabendo que às 3 horas da manhã a temperatura indica 0^{\circ} \mathrm{C};
b) a temperatura mínima registrada.

Passo 1

O enunciado dá uma função quadrática
T(x)=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{7}{2}x+k
que modela a temperatura em função da hora x no intervalo 0\le x\le12.
Conteúdo: análise de função quadrática (parábola).
O que precisamos:
  1. Ajustar k usando a condição T(3)=0.
  2. Encontrar o valor mínimo de T(x), lembrando que, para uma parábola com coeficiente quadrático positivo, o vértice dá o mínimo.

Passo 2

Aplicando a condição T(3)=0:
T(3)=\frac{1}{4}\cdot3^{2}-\frac{7}{2}\cdot3+k =\frac{9}{4}-\frac{21}{2}+k =\frac{9}{4}-\frac{42}{4}+k =-\frac{33}{4}+k.
Como T(3)=0, temos
-\frac{33}{4}+k=0 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{33}{4}.

Passo 3

Agora a função é
T(x)=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{33}{4}.
O coeficiente de x^{2} é \tfrac14>0, logo a parábola abre para cima e seu mínimo ocorre no vértice, em
x_v=-\frac{b}{2a} \quad\text{com }a=\frac14,\;b=-\frac{7}{2}.
Calculando:
x_v =-\frac{-\tfrac{7}{2}}{2\cdot\tfrac14} =\frac{\tfrac{7}{2}}{\tfrac12} =7.

Passo 4

Avaliaremos T(7) para obter a temperatura mínima:
T(7) =\frac{1}{4}\cdot7^{2}-\frac{7}{2}\cdot7+\frac{33}{4} =\frac{49}{4}-\frac{49}{2}+\frac{33}{4} =\frac{49-98+33}{4} =-\frac{16}{4} =-4.

Resposta

a) \displaystyle k=\frac{33}{4}.
b) A temperatura mínima é -4^\circ\mathrm{C}.

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