A produção de milho (em sacas por hectare) varia com a quantidade de adubo aplicado, segundo a função:
P(x)=-0,2 x^{2}+8 x+50
onde x é a quantidade de adubo (em \mathrm{kg} / \mathrm{ha} ).
Qual a quantidade de adubo que maximiza a produção? Qual é a produção máxima?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
P(x) = -0,2\,x^{2} + 8\,x + 50
que relaciona a produção de milho P (em sacas por hectare) com a quantidade de adubo x (em kg/ha). Como o coeficiente de x^2 é negativo, a parábola é côncava para baixo e o ponto de máximo ocorre no vértice.

Passo 2

Para uma parábola P(x)=a\,x^2 + b\,x + c, o vértice em x é dado por
x_v = -\frac{b}{2a}.
Aqui, a = -0,2 e b = 8. Logo,
x_v = -\frac{8}{2 \cdot (-0,2)} = 20.

Passo 3

Para encontrar a produção máxima, substituímos x_v = 20 em P(x):
P(20) = -0,2 \cdot 20^{2} + 8 \cdot 20 + 50 = -80 + 160 + 50 = 130.

Resposta

A quantidade de adubo que maximiza a produção é 20 kg/ha.
A produção máxima é 130 sacas/ha.

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