Um instituto de pesquisa está verificando como um cereal reage a vários níveis de adubação. Foram experimentados cinco níveis e anotados os rendimentos do cereal em cada caso:
\mathrm{x}= nível de
adubo em \mathrm{g} / \mathrm{m}^{2}
5 10 15 20 25
\mathrm{y}= rendimento
\mathrm{em} \mathrm{g} / \mathrm{m}^{2}
20 30 34 38 39
a. Determinar a reta que melhor aproxima o conjunto de pontos anotados.
b. Qual é a previsão de rendimento para 12 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{2} ?
c. Qual é a previsão de rendimento para 8 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{2} ?

Passo 1

O enunciado pede para ajustar uma reta pelos mínimos quadrados ao conjunto de pontos (x,y) com
x\in\{5,10,15,20,25\},\qquad y\in\{20,30,34,38,39\}.
O conteúdo é regressão linear simples, e vamos precisar calcular as médias \bar x e \bar y, o coeficiente angular b e o coeficiente linear a, antes de fazer as previsões.

Passo 2

Calcular as médias dos dados:
\bar x = \frac{5 + 10 + 15 + 20 + 25}{5} = 15,
\bar y = \frac{20 + 30 + 34 + 38 + 39}{5} = 32,2.

Passo 3

Usamos as fórmulas
b = \frac{\sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum (x_i - \bar x)^2},
a = \bar y - b\,\bar x.
Calculando numerador e denominador:
\sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y) = 230, \quad \sum (x_i - \bar x)^2 = 250,
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b = \frac{230}{250} = 0,92, \quad a = 32,2 - 0,92 \cdot 15 = 18,4.

Passo 4

A reta ajustada fica
\hat y = a + b x = 18,4 + 0,92\,x.
Para prever em x=12 e x=8, basta substituir:
\hat y(12) = 18,4 + 0,92\cdot12 = 29,44,
\hat y(8) = 18,4 + 0,92\cdot8 = 25,76.

Resposta

a. \displaystyle \hat y = 18,4 + 0,92\,x
b. \displaystyle \hat y(12) = 29,44
c. \displaystyle \hat y(8) = 25,76

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