1. \int \cos 2 x \operatorname{sen} 4 x d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\operatorname{resp} . \quad-\frac{1}{12} \cos 6 x-\frac{1}{4} \cos 2 x+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos(2x)\,\sin(4x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a integral de um produto de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade de soma de ângulos (produto-para-soma) para transformar esse produto em soma de senos, que é mais fácil de integrar.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin(A)\cos(B) =\frac{1}{2}\bigl[\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr].
No nosso caso A=4x e B=2x, então
\sin(4x)\cos(2x) =\frac{1}{2}\bigl[\sin(4x+2x)+\sin(4x-2x)\bigr] =\frac{1}{2}\bigl[\sin(6x)+\sin(2x)\bigr].
Logo a integral vira
\int \cos(2x)\,\sin(4x)\,dx =\frac{1}{2}\int\bigl[\sin(6x)+\sin(2x)\bigr]dx.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int\sin(6x)\,dx=-\frac{1}{6}\cos(6x), \qquad \int\sin(2x)\,dx=-\frac{1}{2}\cos(2x).
Portanto
\frac{1}{2}\int\bigl[\sin(6x)+\sin(2x)\bigr]dx =\frac{1}{2}\Bigl(-\frac{1}{6}\cos(6x)-\frac{1}{2}\cos(2x)\Bigr)+C.

Passo 4

Basta distribuir o \tfrac12 e organizar os coeficientes:
-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\cos(6x) =-\frac{1}{12}\cos(6x), \qquad -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cos(2x) =-\frac{1}{4}\cos(2x).
Assim obtemos a forma final.

Resposta

-\frac{1}{12}\cos(6x)\;-\;\frac{1}{4}\cos(2x)\;+\;C.

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