1. \int \operatorname{sen}^{2} x \operatorname{sec} ^{3} x d x (resp. \quad \frac{1}{2} \sin ^{3} x \operatorname{sec} ^{2} x+\frac{1}{2} \sin x-\frac{1}{2} \log |\operatorname{sec} x+\tan x|+C )

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int \operatorname{sen}^{2}x \,\operatorname{sec}^{3}x\,dx.
Este é um exercício de integração de funções trigonométricas: vamos usar identidades que relacionam \operatorname{sen}, \operatorname{sec} e \tan e, em seguida, integrais conhecidas de \operatorname{sec} x e \operatorname{sec}^{3}x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em termos de \tan x e \operatorname{sec} x. Como
\operatorname{sen}^{2}x\,\operatorname{sec}^{3}x =\operatorname{sen}^{2}x\,\operatorname{sec}^{2}x\;\operatorname{sec} x =(\tan^{2}x)\,\operatorname{sec} x,
temos
I=\int \tan^{2}x\,\operatorname{sec} x\,dx.

Passo 3

Aplicamos a identidade \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1. Assim,
I =\int (\operatorname{sec}^{2}x-1)\,\operatorname{sec} x\,dx =\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx -\int \operatorname{sec} x\,dx.

Passo 4

Usamos as integrais padrão:
\int \operatorname{sec} x\,dx =\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|+C,
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx =\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sec} x\tan x+\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|\bigr)+C.
Logo,
I =\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sec} x\tan x+\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|\bigr) -\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+C =\frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x-\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|+C.

Passo 5

Para obter exatamente a forma proposta, notamos que
\operatorname{sec} x\tan x =\sin x\,\operatorname{sec}^{2}x \quad\text{e}\quad \sin x\,\operatorname{sec}^{2}x =\sin^{3}x\,\operatorname{sec}^{2}x+\sin x.
Portanto
\frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x =\frac{1}{2}\sin^{3}x\,\operatorname{sec}^{2}x +\frac{1}{2}\sin x,
e finalmente
I =\frac{1}{2}\sin^{3}x\,\operatorname{sec}^{2}x +\frac{1}{2}\sin x -\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|+C.

Resposta

\frac{1}{2}\sin^{3}x\,\operatorname{sec}^{2}x +\frac{1}{2}\sin x -\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|+C.

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