1. \int \frac{\cos ^{2} x}{\operatorname{sen}^{4} x} d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\quad-\frac{1}{3} \cot ^{3} x+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos^{2}x}{\sin^{4}x}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas usando identidades e substituição. Vamos precisar das definições \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} e \csc x = \frac1{\sin x}, além de reconhecer que a derivada de \cot x é -\csc^{2}x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em termos de \cot x e \csc x. Note que
\frac{\cos^{2}x}{\sin^{4}x} = \Bigl(\frac{\cos x}{\sin x}\Bigr)^{2}\,\frac1{\sin^{2}x} = \cot^{2}x\;\csc^{2}x.
Logo a integral fica
\int \frac{\cos^{2}x}{\sin^{4}x}\,dx = \int \cot^{2}x\,\csc^{2}x\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \cot x \quad\Longrightarrow\quad du = -\csc^{2}x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \csc^{2}x\,dx = -du.

Passo 4

Substituindo em \displaystyle\int \cot^{2}x\,\csc^{2}x\,dx, obtemos
\int u^{2}\,(-du) = -\int u^{2}\,du.

Passo 5

Integramos em u:
-\int u^{2}\,du = -\frac{u^{3}}{3} + C.
Voltando a x:
-\frac{u^{3}}{3} + C = -\frac{1}{3}\,\cot^{3}x + C.

Resposta

-\frac{1}{3}\cot^{3}x + C

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