1. \int \operatorname{sen} x \operatorname{sen} 3 x d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\operatorname{resp} . \quad \frac{1}{4} \sin 2 x-\frac{1}{8} \sin 4 x+C\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \sin x \,\sin 3x\,dx
O conteúdo é integração trigonométrica por transformação de produto em soma, usando identidades de ângulos.

Passo 2

Usamos a identidade de produto para soma:
\sin A \,\sin B = \tfrac12\bigl(\cos(A - B) - \cos(A + B)\bigr).

Passo 3

Aplicando com A = x e B = 3x, obtemos
\sin x \,\sin 3x = \tfrac12\bigl(\cos( x - 3x ) - \cos( x + 3x )\bigr) = \tfrac12\bigl(\cos(-2x) - \cos(4x)\bigr).
Como \cos(-2x)=\cos(2x), fica
\sin x \,\sin 3x = \tfrac12\bigl(\cos 2x - \cos 4x\bigr).

Passo 4

Substituindo na integral e tirando o fator 1/2 em evidência:
\int \sin x\,\sin 3x\,dx = \tfrac12\int\bigl(\cos 2x - \cos 4x\bigr)\,dx = \tfrac12\Bigl(\int\cos 2x\,dx - \int\cos 4x\,dx\Bigr).
Agora,
\int\cos 2x\,dx = \tfrac12\sin 2x, \qquad \int\cos 4x\,dx = \tfrac14\sin 4x.

Passo 5

Voltando ao fator 1/2 e combinando:
\int \sin x\,\sin 3x\,dx = \tfrac12\Bigl(\tfrac12\sin 2x - \tfrac14\sin 4x\Bigr) + C = \tfrac14\sin 2x - \tfrac18\sin 4x + C.

Resposta

\int \sin x \,\sin 3x\,dx = \tfrac14\sin 2x \;-\;\tfrac18\sin 4x + C.

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