1. \int \frac{d x}{x^{3}+1}
    \left(\right. resp. \left.\quad \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}\right|+\frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg}\left(\frac{2 x-1}{\sqrt{3}}\right)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{dx}{x^3 + 1}.
O conteúdo principal envolve integração de funções racionais: vamos usar decomposição em frações parciais, completamento de quadrado e as fórmulas de integração de logaritmo e de arctan.

Passo 2

Fatoramos o denominador
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
e propomos a decomposição
\frac{1}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1}.
Multiplicando por x^3+1, obtemos
1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1).

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em x^2\), \(x\) e termo constante, vem \[1 = (A + B)x^2 + (-A + B + C)x + (A + C).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -\,A + B + C = 0,\\\ A + C = 1, \end{cases}
resolve-se A = \tfrac{1}{3}\], \(B = -\tfrac{1}{3}, C = \tfrac{2}{3}.

Passo 4

Substituindo esses valores na integral,
\int \frac{dx}{x^3+1} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x+1} + \frac{1}{3}\int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1}\,dx.

Passo 5

Para o segundo integral, note que
d(x^2 - x + 1) = (2x - 1)\,dx.
Escrevemos
-\,x + 2 = \alpha\,(2x - 1) + \beta
e encontramos \alpha = -\tfrac12, \beta = \tfrac32. Logo
\frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} = -\tfrac12\,\frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} + \tfrac32\,\frac{1}{x^2 - x + 1}.
Assim
\frac{1}{3}\int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1}\,dx = -\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1}\,dx + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2 - x + 1}.

Passo 6

A primeira parte é imediata:
-\frac{1}{6}\int \frac{d(x^2 - x + 1)}{x^2 - x + 1} = -\frac{1}{6}\ln\bigl|x^2 - x + 1\bigr|.
Para a segunda, completamos o quadrado:
x^2 - x + 1 = \Bigl(x - \tfrac12\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^2,
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\int \frac{dx}{(x-\tfrac12)^2 + (\tfrac{\sqrt3}{2})^2} = \frac{2}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{x-\tfrac12}{\tfrac{\sqrt3}{2}}\Bigr) = \frac{2}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr).
Multiplicando por \tfrac12 resulta \tfrac{1}{\sqrt3}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt3}\bigr).

Resposta

\int \frac{dx}{x^3+1} = \frac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{x+1}{\sqrt{x^2 - x + 1}}\Bigr| + \frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr) + C.

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