1. \int \frac{(3 x+2) d x}{x(x+1)^{3}} \left(\right. resp. \left.\quad 2 \ln |x|-\frac{1}{2(x+1)^{2}}+\frac{2}{x+1}-2 \ln |x+1|+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{3x+2}{x\,(x+1)^{3}}\,dx
Usaremos o método de frações parciais para decompor o integrando em termos mais simples e então integrar cada parte.

Passo 2

Proponha a decomposição
\frac{3x+2}{x\,(x+1)^{3}} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}}+\frac{D}{(x+1)^{3}}.
Multiplique ambos os lados por x\,(x+1)^{3} e obtenha a identidade polinomial
3x+2 = A\,(x+1)^{3} + B\,x\,(x+1)^{2} + C\,x\,(x+1) + D\,x.

Passo 3

Expanda cada termo e some coeficientes de potências iguais de x:
A(x+1)^3 = A(x^3+3x^2+3x+1),\quad B\,x(x+1)^2 = B(x^3+2x^2+x),
C\,x(x+1)=C(x^2+x),\quad D\,x=Dx.
Somando,
3x+2 =(A+B)x^3 +(3A+2B+C)x^2 +(3A+B+C+D)x + A.
Igualando a 0x^3+0x^2+3x+2 resulta o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\\\ 3A+2B+C=0,\\\\ 3A+B+C+D=3,\\\ A=2. \end{cases}
Daí segue
A=2,\quad B=-2,\quad C=-2,\quad D=1.

Passo 4

Reescreva a integral com os coeficientes encontrados:
\int \frac{3x+2}{x\,(x+1)^{3}}\,dx =\int\Bigl(\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x+1)^3}\Bigr)dx.
Integre termo a termo, lembrando que \displaystyle\int x^{-n}dx=x^{-n+1}/(-n+1) para n\neq1:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|,\quad \int -\frac{2}{x+1}\,dx = -2\ln|x+1|,
\int -\frac{2}{(x+1)^2}\,dx =-2\bigl(-\frac{1}{x+1}\bigr) =\frac{2}{x+1}, \quad \int \frac{1}{(x+1)^3}\,dx =-\frac{1}{2(x+1)^2}.

Resposta

2\ln|x| \;-\;2\ln|x+1|\;+\;\frac{2}{x+1}\;-\;\frac{1}{2(x+1)^2}\;+\;C.

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