\int_{-2}^{2} \frac{d x}{4+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{2} \frac{dx}{4+x^{2}}.
Informações importantes dadas:
  • É uma integral definida com limites de integração x=-2 a x=2.
  • A integranda é a função x\mapsto \dfrac{1}{4+x^{2}}.

Passo 2

Observação sobre simetria (útil para simplificar): verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma. A função f(x)=\dfrac{1}{4+x^{2}} satisfaz
f(-x)=\frac{1}{4+(-x)^{2}}=\frac{1}{4+x^{2}}=f(x),
ou seja, f é uma função par. Para integrais definidas em intervalos simétricos em torno de zero vale a propriedade
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx
quando f é par. Aplicando aqui,
\int_{-2}^{2} \frac{dx}{4+x^{2}} = 2\int_{0}^{2} \frac{dx}{4+x^{2}}.

Passo 3

Escolher uma técnica de integração para \displaystyle \int \frac{dx}{4+x^{2}}. Uma forma direta é usar substituição simples para transformar em uma integral do tipo \displaystyle \int \frac{du}{1+u^{2}}, cuja primitiva é \arctan u, pois
\frac{d}{du}\big(\arctan u\big)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Faço a substituição
u=\frac{x}{2}\quad\Rightarrow\quad x=2u,\qquad dx=2\,du.
Substituindo na integral de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\frac{dx}{4+x^{2}}=\int_{u=0}^{u=1}\frac{2\,du}{4+(2u)^{2}}=\int_{0}^{1}\frac{2\,du}{4+4u^{2}}.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida:
\int_{0}^{1}\frac{2\,du}{4+4u^{2}}=\int_{0}^{1}\frac{2\,du}{4(1+u^{2})}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{du}{1+u^{2}}.
Agora usar a primitiva conhecida \displaystyle \int\frac{du}{1+u^{2}}=\arctan u + C. Logo,
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{du}{1+u^{2}}=\frac{1}{2}\big[\arctan u\big]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\big(\arctan 1-\arctan 0\big).

Passo 5

Avaliar os arctangentes: sabe-se que \arctan 1=\dfrac{\pi}{4} e \arctan 0=0. Portanto
\frac{1}{2}\big(\arctan 1-\arctan 0\big)=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}-0\right)=\frac{\pi}{8}.
Lembrando do fator 2 da Simetria (Passo 2), temos
\int_{-2}^{2}\frac{dx}{4+x^{2}}=2\cdot\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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