\int_{0}^{1 / 2} \frac{d x}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
I = \int_{0}^{1/2} \frac{dx}{\bigl(1 - x^{2}\bigr)^{2}}.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição hiperbólica, que simplifica expressões do tipo 1 - x^{2}. Vamos usar a substituição x = \operatorname{tanh}(u).

Passo 2

Fazendo x = \operatorname{tanh}(u) temos
dx = \sech^{2}(u)\,du \quad\text{e}\quad 1 - x^{2} = 1 - \operatorname{tanh}^{2}(u) = \sech^{2}(u).
Substituindo na integral,
\frac{dx}{\bigl(1 - x^{2}\bigr)^{2}} = \frac{\sech^{2}(u)\,du}{\bigl(\sech^{2}(u)\bigr)^{2}} = \sech^{2}(u)\,\sech^{-4}(u)\,du = \operatorname{cosh}^{2}(u)\,du.

Passo 3

Precisamos agora integrar
I = \int \operatorname{cosh}^{2}(u)\,du.
Usamos a identidade hiperbólica
\operatorname{cosh}^{2}(u) = \frac{1 + \operatorname{cosh}(2u)}{2},
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\int \operatorname{cosh}^{2}(u)\,du = \int \frac{1 + \operatorname{cosh}(2u)}{2}\,du = \frac{u}{2} + \frac{\operatorname{sinh}(2u)}{4} + C.

Passo 4

Precisamos dos limites em u. Quando x=0, u=0. Quando x=\tfrac12,
u = \operatorname{arctanh}\!\bigl(\tfrac12\bigr) = \frac{1}{2}\ln\!\bigl(\tfrac{1 + \tfrac12}{1 - \tfrac12}\bigr) = \frac{1}{2}\ln(3).
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I = \Bigl[\frac{u}{2} + \frac{\operatorname{sinh}(2u)}{4}\Bigr]_{0}^{\frac12\ln(3)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln(3) + \frac{1}{4}\,\operatorname{sinh}\!\bigl(2\cdot\tfrac12\ln(3)\bigr) - 0.
Como \operatorname{sinh}(2t)=2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t e para t=\tfrac12\ln(3) temos \operatorname{tanh} t=\tfrac12,
\operatorname{sinh}(2t) = \frac{2\cdot\tfrac12}{1 - (\tfrac12)^{2}} = \frac{1}{1 - \tfrac14} = \frac{4}{3}.
Portanto
I = \frac{1}{4}\ln(3) + \frac{1}{4}\cdot\frac{4}{3} = \frac{1}{4}\ln(3) + \frac{1}{3}.

Resposta

\frac{1}{4}\ln(3) + \frac{1}{3}.

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