\int \frac{d x}{\left(4+x^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{(4+x^2)^2}.
Este é um caso de função racional com soma de quadrados ao quadrado. Uma técnica clássica é a substituição trigonométrica
x = 2\tan\theta
para simplificar 4+x^2.

Passo 2

Com x=2\tan\theta temos
dx = 2\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta, \qquad 4+x^2 = 4+4\tan^2\theta = 4\operatorname{sec}^2\theta,
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(4+x^2)^2 = 16\operatorname{sec}^4\theta.
A integral vira
\int \frac{dx}{(4+x^2)^2} = \int \frac{2\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta}{16\operatorname{sec}^4\theta} = \frac{1}{8}\int \cos^2\theta\,d\theta.

Passo 3

Usamos a identidade
\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}
para obter
\frac{1}{8}\int \cos^2\theta\,d\theta = \frac{1}{16}\int\bigl(1+\cos2\theta\bigr)d\theta = \frac{1}{16}\Bigl(\theta + \tfrac12\sin2\theta\Bigr) + C.

Passo 4

Voltando a x:
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr), \qquad \sin2\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = \frac{4x}{x^2+4}.
Substituindo,
\frac{1}{16}\theta + \frac{1}{32}\sin2\theta + C = \frac{1}{16}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + \frac{x}{8(x^2+4)} + C.

Resposta

\int \frac{dx}{(4+x^2)^2} = \frac{x}{8(x^2+4)} + \frac{1}{16}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

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