\int \frac{d x}{x\left(x^{2}-1\right)}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{dx}{x\bigl(x^{2}-1\bigr)}
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais de função racional e integração de termos simples.

Passo 2

Fazemos a decomposição
\frac{1}{x(x^2-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}.
Multiplicando por x(x^2-1)\) obtemos \[1=A(x^2-1)+B\,x(x+1)+C\,x(x-1).
Isso dá o polinômio
1=(A+B+C)x^2+(B-C)x-A.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B+C=0,\\\ B-C=0,\\\\ -\,A=1, \end{cases}
logo A=-1\], \(B=C=\tfrac12.

Passo 3

Substituindo na integral vindoura:
\int \frac{dx}{x(x^2-1)} =\int\Bigl(-\frac{1}{x}+\frac{1/2}{x-1}+\frac{1/2}{x+1}\Bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
-\int\frac{dx}{x} +\tfrac12\int\frac{dx}{x-1} +\tfrac12\int\frac{dx}{x+1}.

Passo 4

As integrais são logaritmos:
-\ln\lvert x\rvert +\tfrac12\ln\lvert x-1\rvert +\tfrac12\ln\lvert x+1\rvert + C.
Podemos combinar os dois últimos termos:
\tfrac12\ln\bigl\lvert(x-1)(x+1)\bigr\rvert -\ln\lvert x\rvert + C =\tfrac12\ln\lvert x^2-1\rvert -\ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

\int \frac{dx}{x(x^2-1)} =\frac12\ln\lvert x^2-1\rvert-\ln\lvert x\rvert+C.

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