Encontre a decomposiçăo em fraçôles parciais.
\frac{2 x^{2}-3 x}{\left(x^{2}+1\right)(3 x+2)}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
\frac{2x^{2}-3x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)\,(3x+2)}.
O conteúdo é “frações parciais” e vamos precisar compararmos graus de polinômios, montar um \emph{ansatz} e igualar coeficientes para determinar as constantes.

Passo 2

Como o grau do numerador 2 é menor que o grau do denominador 3, não precisamos fazer divisão de polinômios. Montamos o \emph{ansatz} padrão:
\frac{2x^{2}-3x}{(x^{2}+1)(3x+2)} =\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{C}{3x+2},
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 3

Para encontrar A, B e C, igualamos numeradores após o \emph{clear denominators}. Temos
2x^{2}-3x=(Ax+B)(3x+2)+C(x^{2}+1).
Expandindo o lado direito:
(Ax+B)(3x+2)=3A x^{2}+(2A+3B)x+2B,
então
(Ax+B)(3x+2)+C(x^{2}+1) =(3A+C)x^{2}+(2A+3B)x+(2B+C).

Passo 4

Agora igualamos coeficientes de potências iguais de x\): \[\begin{cases} 3A + C = 2,\\\\ 2A + 3B = -3,\\\\ 2B + C = 0. \end{cases}
Da terceira equação C=-2B\]. Substituindo em \[3A+C=2 3A-2B=2.
E as duas equações ficam
\begin{cases} 3A - 2B = 2,\\\\ 2A + 3B = -3. \end{cases}
Resolvendo, obtemos B=-1\], \(A=0 e então C=2.

Passo 5

Substituindo A=0, B=-1 e C=2 no nosso \emph{ansatz}, vem
\frac{2x^{2}-3x}{(x^{2}+1)(3x+2)} =\frac{0\cdot x-1}{x^{2}+1}+\frac{2}{3x+2} =-\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{2}{3x+2}.

Resposta

-\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{2}{3x+2}.

Exercícios relacionados