1. \int \frac{\left(x^{2}+2 x+1\right) d x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} (resp. \quad-\frac{1}{1+x^{2}}+\operatorname{arctg} x+C )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2} + 2x + 1}{(1+x^{2})^{2}}\,dx
O conteúdo é integração de funções racionais, onde vamos usar decomposição do numerador e substituição para integrar termo a termo.

Passo 2

Observe que
x^{2} + 2x + 1 = (x^{2}+1) + 2x,
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\frac{x^{2} + 2x + 1}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{x^{2}+1}{(1+x^{2})^{2}} + \frac{2x}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{1}{1+x^{2}} + \frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 3

Integramos o primeiro termo:
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \operatorname{arctg}x + C_{1}.

Passo 4

Para o segundo termo fazemos a substituição u = 1+x^{2}, daí du = 2x\,dx. Temos
\int \frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx = \int \frac{du}{u^{2}} = -\frac{1}{u} + C_{2} = -\frac{1}{1+x^{2}} + C_{2}.

Passo 5

Somando as duas partes e absorvendo constantes numa única C, obtemos
\int \frac{x^{2} + 2x + 1}{(1+x^{2})^{2}}\,dx = \operatorname{arctg}x - \frac{1}{1+x^{2}} + C.

Resposta

-\frac{1}{1+x^{2}} + \operatorname{arctg}x + C

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