1. \int \frac{(2 x-1)}{(x-1)(x-2)} d x
    ( resp. \quad-\ln |x-1|+3 \ln |x-2|+C)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{2x - 1}{(x - 1)(x - 2)} \,dx.
O conteúdo que vamos usar é decomposição em frações parciais e a fórmula básica
\int \frac{dx}{x - a} = \ln\bigl|x - a\bigr| + C.

Passo 2

Assumimos que
\frac{2x - 1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}.
Multiplicando ambos os lados por (x - 1)(x - 2), obtemos
2x - 1 = A(x - 2) + B(x - 1).

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes de x e termos constantes, temos
A + B = 2, \quad -2A - B = -1.
Resolvendo esse sistema, encontramos
A = -1, \quad B = 3.

Passo 4

Substituindo A e B de volta, o integrando vira
\frac{2x - 1}{(x - 1)(x - 2)} = -\frac{1}{x - 1} + \frac{3}{x - 2}.
Logo,
\int \frac{2x - 1}{(x - 1)(x - 2)} \,dx = -\int \frac{dx}{x - 1} + 3 \int \frac{dx}{x - 2} = -\ln\bigl|x - 1\bigr| + 3\,\ln\bigl|x - 2\bigr| + C.

Resposta

-\ln|x-1| + 3\ln|x-2| + C

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