1. \int \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) d x \qquad (resp. \left.\quad x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)-\sqrt{1+x^{2}}+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de uma função logarítmica composta com raiz. Para resolver, vamos usar o método de integração por partes e, em seguida, reconhecer um integral que é derivada de \sqrt{1+x^{2}}.

Passo 2

O teorema da integração por partes afirma que, para funções u e v,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 3

Escolhemos
u = \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr), \quad dv = dx.
Então
v = \int dv = x,
e para du calculamos a derivada de u usando regra da cadeia. Como
\frac{d}{dx}\sqrt{1+x^{2}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},
temos
du = \frac{1 + \tfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{\,x+\sqrt{1+x^{2}}\,}\,dx =\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.

Passo 4

Substituindo em integração por partes,
\int \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr)\,dx = x \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr) - \int x\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.

Passo 5

Restou calcular
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Observe que
\frac{d}{dx}\sqrt{1+x^{2}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},
logo
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \sqrt{1+x^{2}}.

Passo 6

Juntando tudo, a primitiva é
x \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr) - \sqrt{1+x^{2}} + C.

Resposta

x \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr) - \sqrt{1+x^{2}} + C.

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