1. \int \frac{x d x}{\sqrt{4 x^{2}+8 x+5}} \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\left(\right. resp. \left.\quad \frac{1}{4} \sqrt{4 x^{2}+8 x+5}-\frac{1}{2} \ln \left(2+2 x+\sqrt{4 x^{2}+8 x+5}\right)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{4x^{2}+8x+5}}
O conteúdo principal é integrar por substituição após completar o quadrado no radicando.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado em 4x^{2}+8x+5:
4x^{2}+8x+5 = 4\bigl(x^{2}+2x\bigr)+5 =4\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)+5 =4(x+1)^{2}+1.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
t = x+1, \qquad dx = dt,
e então x = t-1. A integral vira
\int \frac{(t-1)\,dt}{\sqrt{4t^{2}+1}} = \int \frac{t\,dt}{\sqrt{4t^{2}+1}} - \int \frac{dt}{\sqrt{4t^{2}+1}}.

Passo 4

Para a primeira parte usamos u=4t^{2}+1, logo du=8t\,dt e t\,dt=\tfrac{du}{8}:
\int \frac{t\,dt}{\sqrt{4t^{2}+1}} =\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\int u^{-\tfrac12}du =\frac{1}{8}\cdot 2u^{\tfrac12} =\frac{1}{4}\sqrt{4t^{2}+1}.

Passo 5

Para a segunda parte escrevemos
\int \frac{dt}{\sqrt{4t^{2}+1}} =\int \frac{dt}{2\sqrt{t^{2}+\tfrac14}} =\frac12\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}+(\tfrac12)^{2}}} =\frac12\operatorname{arsinh}\bigl(2t\bigr) =\frac12\ln\bigl(2t+\sqrt{4t^{2}+1}\bigr).

Passo 6

Juntando os resultados temos
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{4x^{2}+8x+5}} =\frac{1}{4}\sqrt{4t^{2}+1} -\frac12\ln\bigl(2t+\sqrt{4t^{2}+1}\bigr) + C.
Voltando a variável x com t=x+1:
\sqrt{4t^{2}+1}=\sqrt{4x^{2}+8x+5}, \qquad 2t=2x+2,
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Resposta

\frac{1}{4}\sqrt{4x^{2}+8x+5} -\frac12\ln\bigl(2x+2+\sqrt{4x^{2}+8x+5}\bigr) + C.

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